r1 (Методическая разработка для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700), страница 3

Тогда условные вероятности ошибок первого и второго рода оп­ределяется выражениями:

ПРИМЕР

Пусть наблюдаемые значение случайной величины X расположены в диапазоне всех действительных чисел.

Пусть Н₀ - гипотеза о том, что случайная величина X подчинена нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (m_х = 0) и единичной дисперсией (_х = 1).

Пусть Н₁ - гипотеза о том, что случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием m_х = 1 и дисперсией _х = 1.

X

(Х)

Функция правдоподобия гипотез Н₀ и Н₁ соответственно равны

Отношение правдоподобия запишется в виде

Далее по соотношению (Х) и l₀ принимаем решение о справедли­вости той или оной гипотезы т. е.

(Х) > l₀ - справедлива гипотеза Н₁

(Х) < l₀ - справедлива гипотеза Н₀

Применим операцию логарифмирования и заменим последнее выра­жение эквивалентным

ln[(Х)] = x - 0.5 > ln[l₀]

x > ln[l₀] + 0.5 = - справедлива гипотеза Н₁

x < ln[l₀] + 0.5 = - справедлива гипотеза Н₀

где

х - значение случайной величины из опыта

х₀ = ln[l₀] + 0.5 - порог принятия решения

Точка х₀ делит всю область определения случайной величины X на две части: на

₀ -область принятия гипотезы Н₀ и

₁ - область при­нятия гипотезы Н₁,

при этом вероятность ошибки первого рода равна

вероятность принятия правильного решения равна

В математической статистике Р_ло называется уровнем значимости критерия, а величина 1 - Р_пр называется мощностью выбора решения.

ВЫВОД 1: Для того, чтобы принять решение о справедливости той или иной гипотезы, необходимо установить порог принятия решения х₀(l₀) и по соотношению опытных данных и порога принимать решение.

ВЫВОД 2: Мы пока ничего не говорили об оптимальности выбора порога принятия решения.

Рассмотрим теперь решение задачи о нахождении наиболее оптимального правила принятия решения.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС 4.

Применение теории статистических решений к задачам ОПТИМАЛЬНОГО обнаружения радиолокационных сигналов.

Поскольку порог обнаружения выбран нами произвольно, то это может привести к значительному количеству неправильных решений. Следовательно, задача состоит в том, чтобы оптимальным образом разбить область  на две части ₀ и ₁.

ВНИМАНИЕ

Оптимальность в принятии решения исходит из требований, предъявляемых к ошибкам первого и второго рода. В этом смысле оптимальное решение ограничено.

Не может быть оптимального решения, удовлетворяющего всех. Поэтому оптималь­ное решение, как правило, представляет со­бой компромисс между требованиями.

Одним из важнейших требований является требование, чтобы ве­роятность ошибки первого рода (ЛОЖНАЯ ТРЕВОГА) не превосходила заданной величины ₀ (₀ = 0.99). В этом случае оптимальное решение X определяется их выражения для ошибки первого рода

Для нашего примера это решение выглядит так

Данный метод поиска оптимального решения носит название мето­да Неймана-Пирсона.

Другой возможностью поиска оптимального решения является ис­пользование функции среднего риска. Напомним ее вид.

Средний риск представляет собой плату за ошибки. Оптимальность в этом случае понимается как минимизация этой платы. Т. е. необходимо таким образом выбрать решающее правило, чтобы суммарная плата за ошибки была минимальна.

Следует понимать, что данный критерий не будет оптимален по критерию Нейма­на-Пирсона. Там были другие требования.

Поиск оптимального решения рассмотрим на примере обнаружения сигнала.

Пусть полезный сигнал S принимает два значения. Матрица стоимости принятых решений имеет вид

С учетом стоимостных значений ошибок определим выражение для функции риска.

________ ______

Правильн. необн

(плата)

________ ______

Ложная тревога

(плата)

________ ______

Пропуск цели

(плата)

________ ______

Правильн. обнар.

(плата)

Принято, что плата за правильно принятое решение равна с₀₀ = с₁₁ = 0 . Тогда функция риска принимает вид

________ ______

Ложная тревога

(плата)

________ ______

Пропуск цели

(плата)

где:

с10 с01 P(S0) P(S1) P(1/S0) P(0/S1)

цена ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ, цена ПРОПУСКА ЦЕЛИ, априорная вероятность отсутствия сигнала S, априорная вероятность наличия сигнала S, вероятность ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ, вероятность ПРОПУСКА ЦЕЛИ.

Проведем дальнейшие преобразования функции риска

И окончательно получаем выражение функции определяющей сред­нюю плату за принятые ошибочные решения.

И теперь для того, чтобы принимать оптимальные решения (напри­мер, платить минимум за принятые решения), необходимо минимизиро­вать платежную функцию и в зависимости от исходных данных и тре­бований, предъявляемых к оптимальному решению - найти решающее правило:

____ ____ ___ ___

(Х) l₀

Методическое пособие подготовил

Подполковник С.ШВЫДКОВ