LEK2-2 (Методическая разработка для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА ВОЙСК ПВО

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Начальник военной кафедры Войск ПВО

ФВО при МГУ им. М.В. Ломоносова

полковник И.Я. КАЛАШНИКОВ

“ “ _____________ 1997 г.

ЛЕКЦИЯ

по военно-специальной подготовке

ВУС - 530700

ТЕМА 2. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ

Занятие 2.2 Сущность метода статистических испытаний. Применение метода

для решения практических задач. Моделирование случайных

величин.

Обсуждена на методическом заседании цикла №24

протокол №____ от “ “ _____________ 199 г.

МОСКВА - 199 год

Учебные цели:

Ознакомить студентов с сущностью метода статистических испытаний. Научить способам вычисления кратных интегралов. Ознакомить студентов с механизмом моделирования случайных величин.

ВРЕМЯ - 2 часа

Учебные вопросы:

1. Общая идея метода.

2. Применение метода статистических испытаний для вычисления кратных

   интегралов.

- Вычисление интеграла по математическому ожиданию

-Вычисление интеграла по вероятности

3. Обоснование метода Пирсона.

4. Обоснование метода обратных функций.

1. ОБЩАЯ ИДЕЯ МЕТОДА

Определение. Метод статистических испытаний представляет собой численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Для решения задач методом статистических испытаний необходимо построить вероятностную модель, через параметры которой выражаются искомые величины.

Задачи решаемые методом Монте-Карло

1. Метод позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Цель моделирования состоит в получении средних характеристик исследуемого процесса.

2. Метод позволяет решать задачи путем построения так называемых «фиктивных вероятностных моделей» т.е. моделей не имеющих прямой связи с объектом исследования, но более удобных в вычислительном отношении.

Метод статистических испытаний применяется в тех случаях, когда аналитическое решение невозможно или затруднено или сложно.

Примеры применения метода

1) Пусть обстреливается 5 целей пятью независимыми выстрелами. Требуется определить вероятность того, что будут поражены более трех целей если вероятность поражения одной цели равна

• аналитический способ решения задачи

где , ,

• Метод статистических испытаний (механический датчик случайных чисел)

Чтобы пояснить идею метода статистических испытаний решим другую задачу этим методом: Построим физическую модель, используя механизм извлечения шаров из урны (с возвращением). Пусть в урне 7 белых шаров и 3 черных.. Вероятность вынуть белый шар равна , черный . Тогда

извлечение белого шара - успешный выстрел,

извлечение черного - промах

Проводим серию из 5 опытов. Серию считаем успешной, если в пяти опытах было извлечено не менее трех белых шаров. В противном случае неуспешной.

Пусть при сериях испытаний - серий успешны. Тогда , т.к. по теореме Бернулли частота появления события при сходится по вероятности к вероятности данного события т.е.

• Метод статистических испытаний (математическое моделирование)

П ри математическом моделировании вместо урны используется датчик равномерного распределения реализуемый на ЭВМ. Областью определения датчика является отрезок . Тогда цель считается пораженной если значение РРСВ выработанной датчиком попадает в интервал , иначе - промах

Фрагмент программы

function rnd { датчик равномерного распределения }

.........................................................................................................................................

L:=0; {счетчик успешных серий }

for i:=1 to N do

begin

m:=0; {счетчик пораженных целей}

for j:=1 to 5 do if rnd <= 0.7 then m:=m+1; {проверка поражения цели}

if m >=3 then L:=L+1; {проверка успеха серии}

end;

...........................................................................................................................................................................

1. Вычисление числа

Определим вероятность попадания точки в область экспериментальным путем.

Проведем серию испытаний со случайной величиной (X,Y). Испытание будем считать успешным если точка попала в область т.е. . Пусть L - число успешных испытаний. Тогда

Так как то

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

2.1 Вычисление интеграла по математическому ожиданию

Пусть требуется вычислить

где функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , при этом ,

Интеграл преобразуется так, чтобы новая область интегрирования была расположена внутри единичного - мерного куба.

Произведем замену переменных.

где - равномерно распределенные случайные числа из интервала [0, 1], и вычислим

якобиан преобразования.

п олучим

преобразуем интеграл к виду

П усть - мерный единичный куб случайно и равномерно бросается точка тогда

где - число испытаний, когда выполнилось условие

- общее число испытаний

И окончательно выражение для расчета интеграла примет вид:

2.2 Вычисление интеграла по вероятности

Пусть требуется вычислить

где функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , при этом , Причем

Интеграл преобразуется так, чтобы новая область интегрирования и подитегральная функция была расположена внутри единичного +1 - мерного куба.

Произведем замену переменных.

И вводя новую подитегральную функцию

где - равномерно распределенные случайные числа из интервала [0, 1].

получим

Пусть +1 - мерный единичный куб случайно и равномерно раз бросается точка и каждый раз проверяется условие и

где - область интегрирования внутри единичного m+1 мерного куба

- область расположенная внутри единичного m+1 мерного куба ограниченного

кривой

где - число испытаний, когда выполнилось условие

- число испытаний, когда выполнилось условие

- общее число испытаний

3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПИРСОНА

Пусть случайная величина Х определена в интервале и имеет плотность распределения ( рис ) . Впишем график функции в прямоугольник с размерами ( b-a ) ( рис )

y

х х

a b a x b

В прямоугольник ( b-a ) равномерно бросается точка Докажем, что то точка попавшая в область под кривой (область ) имеет координату x распределенную по закону

1. Вероятность того, что точка попадет в область под кривой на интервале [a,b] равна отношению площадей

1. Вероятность того, что точка попадет в область под кривой на интервале (область ) равна отношению площадей

3. Отношение количества отобранных чисел попавших в интервал ко всему количеству отобранных чисел есть вероятность попадания случайной величины в интервал

4. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим случайную величину , распределенную по закону

где

Для всего множества значений случайной величины определим множество случайных величин , получим новое множество значений новой случайной величины, это множество определим как и введем новые обозначения

Найдем распределение случайной величины

З акон распределения случайной величины по определению есть

Вследствие монотонности функции условие эквивалентно , так что

ВЫВОД

Случайная величина распределена равномерно в интервале [0, 1], независимо от того, как распределена случайная величина .

Таким образом, по заданной равномерно распределенной совокупности чисел можно построить совокупность случайных чисел распределенных по закону

Значения находятся как корни уравнения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Особенностью метода статистических испытаний является возможность применения его для решения задач, не сформулированных в виде уравнений

Применение метода возможно только в том случае если возможно построение модели процесса.

Эффективное применение метода возможно при использовании ЭВМ.

Для решения задач методом статистических испытаний необходимо иметь случайную последовательность чисел. Различные задачи требуют случайных чисел с различным законом распределения. Основной является последовательность чисел с равномерным законом распределения. С помощью этих чисел можно получить случайные числа с любым законом распределения

Задание на самоподготовку

Изучить лекционный материал. Уделить внимание теоретическому обоснованию практического применения равномерно распределенной случайной величины, для формирования любой последовательности случайных чисел.

Литература: 1. В.А Скрипкин, Е.А. Моисеенко Математические методы исследования

операций в военном деле.

2. Е.С Вентцель Теория вероятностей.

3. Ф. Мартин Моделирование на вычислительных машинах.

Старший преподаватель цикла №24

подполковник С.ШВЫДКОВ