GROUP11- (Методическая разработка для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА ВОЙСК ПВО

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Начальник военной кафедры Войск ПВО

ФВО при МГУ им. М.В. Ломоносова

полковник

И.Я. КАЛАШНИКОВ

“ “ _____________ 199 г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700

ТЕМА 11 Методы оценки эффективности боевых действий войск с

использованием теории массового обслуживания

Занятие 11.4 Система массового обслуживания с очередью и ограниченным

временем ожидания.

Обсуждена на методическом заседании цикла №24

протокол №___ от « » ____________ 1997 года

МОСКВА - 199 год

Учебная цель

Привить студентам практические навыки в применении аналитических и статистических моделей массового обслуживания для решения задач по вычислению показателей эффективности группировки ПВО.

Особое внимание при изложении данной темы уделить развитию у студентов чувства необходимости настойчивого овладения военно-профессиональными знаниями по специальности, необходимыми для уверенного исполнения обязанностей на офицерской должности в войсках

Организационно- методические указания

При исследовании очень часто приходится сталкиваться с анализом работы своеобразных систем называемых системами массового обслуживания (СМО), (системы ПВО, аэродромы др.)

При изучении этой темы в центре внимания должны стоять вопросы, связанные с применением математического аппарата теории массового обслуживания к исследованию эффективности более сложных систем. Такой системой можно считать как систему ПВО в целом, так и отдельные группировки. Анализ функционирования этих систем рассматривается на примерах ведения боевых действий конкретно данных систем ПВО по отражению удара средств воздушного нападения противника

На лекции рассматривается основные понятия теории массового обслуживания, рассматриваются некоторые простейшие системы и методы их анализа

На групповых занятиях решаются задачи по вычислению показателей эффективности группировок ПВО с использованием аналитических и статистических моделей массового обслуживания на конкретных примерах

Перед рассмотрением учебных вопросов необходимо проверить степень усвоения студентами теоретических положений теории массового обслуживания, изложенных на лекциях путем постановки следующих контрольных вопросов.

1. Общая схема, показатели эффективности и классификации систем массового обслуживания.

2. Характеристика входного потока.

Учебные вопросы:

1. Характеристика СМО с ожиданием.

2. Уравнения состояния системы массового обслуживания с ожиданием.

Дифференциальные уравнения состояния системы

1. Установившийся режим для СМО с ожиданием. Формулы Эрланга Характеристики установившегося режима..

4. Чистая система с отказами.

1. Чистая система с ожиданием.

2. СМО с ограничением по длине очереди и бесконечным временем ожидания.

Учебное время: 4 часа

Метод проведения: групповое занятие

1. Характеристика СМО с ожиданием.

СМО называется системой с ожиданием если заявка заставшая все каналы занятыми становится в очередь и ждет пока не освободится какой-нибудь канал.

1. если время ожидания в очереди ничем не ограничено, то СМО называется «чистой системой с ожиданием».

2. если время ожидания в очереди ограничено, то СМО называется «системой смешанного типа».

СМО «смешанного типа» это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием. Для практики наибольший интерес представляет именно этот случай.

Ограничения на время ожидания могут быть разными:

1. время ожидания может быть ограничено сверху каким-то сроком.

2. заявка становится в очередь, если длина очереди не слишком велика или конечна.

и др.

Кроме того существуют СМО с преимуществами, когда некоторые заявки имеют приоритет перед другими и без преимуществ (генералы вне очереди).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию.

Мы рассмотрим простейший случай смешанной системы без преимуществ

Как и в предыдущем случае напишем уравнения вероятностей состояний системы. Но состояния системы будем нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок.

Возможные состояния системы будут следующими:

– свободны все каналы; (нет очереди)

– занят один канал (неважно какой); (нет очереди)

... .................

– занято каналов; (нет очереди)

... .................

– занято каналов (все каналы заняты, нет очереди);

– занято каналов (все каналы заняты, одна заявка в очереди);

... .................

– занято каналов (все каналы заняты, заявок в очереди);

2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО БСЛУЖИВАНИЯ

С ОЖИДАНИЕМ.

Дифференциальные уравнения состояния системы

Исходными данными для анализа поведения системы являются:

1. Количество обслуживающих приборов (каналов) – ;

2. Средняя плотность потока заявок – ;

3. Плотность потока интервалов распределена по показательному закону

   ;

4. Время обслуживания одной заявки подчинено показательному закону

   ; ;

5. Плотность потока ухода заявок из очереди распределена по показательному закону

; ;

Пришедшая заявка, заставшая все каналы занятыми становится в очередь и ожидает обслуживания. Время ожидания ограничено сроком . Если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь.

Граф возможных состояний системы

Первые дифференциальных уравнений ничем не отличаются от уравнений Эрланга с отказами.

Отличие новых уравнений начнется при и более . Рассмотрим этот случай и составим дифференциальное уравнение для ;

ПРИМЕЧАНИЕ: Для решения данной задачи подготовим некоторую вспомогательную

информацию.

1. В ероятность того, что за прейдет / не прейдет одна заявка

1. Вероятность того, что за освободится / не освободится один из

занятых каналов

1. Вероятность того, что за одна из заявок стоящих в очереди

не покинет / покинет очередь

Зафиксируем некоторый момент времени . Найдем вероятность того, что в момент времени система окажется в состоянии ;

Уравнение для состояния

Система в момент окажется в состоянии при следующих событиях

Событие А - в момент времени система была в состоянии и за не перешла в

состояние или (не пришло ни одной заявки и ни один канал не

освободился)

;

;

Событие В - в момент времени система была в состоянии и за перешла в

состояние (пришла одна заявка)

;

Событие С - в момент времени система была в состоянии и за перешла в

состояние

;­ – освободился один канал из и

заявка, стоявшая в очереди заняла его

или

; – заявка ушла из очереди

Тогда искомая вероятность будет равна сумме событий

Определим теперь . Вероятность того, что в момент каналов будет занято и заявок стоять в очереди.

Уравнение для состояния

Система в момент окажется в состоянии при следующих событиях

Событие А - в момент времени система была в состоянии и за перешла

в состояние (пришла одна заявка)

;

Событие В - в момент времени система была в состоянии и за не ушла из

этого состояния.

ни одна заявка не пришла и ....................................

ни один канал из не освободился и ........................

ни одна из заявок не ушла из очереди ....................

;

;

;

Событие С - в момент времени система была в состоянии и за перешла в

состояние

один канал из освободился и одна из заявок стоявших в

- очереди заняла канал ...................................................

или

- одна из заявок ушла из очереди.............. ..........

;

;

Тогда искомая вероятность будет равна сумме событий

Дифференциальные уравнения состояния системы

Для уравнений и получим дифференциальные уравнения и сведем их в таблицу.

Система дифференциальных уравнений для СМО с ожиданием.

Полученные уравнения являются уравнениями для СМО смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянны, так и переменными. При интегрировании системы уравнений нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежительно малыми, и соответствующие уравнения могут выть отброшены.

1. Установившийся режим для СМО с ожиданием.

Формулы Эрланга. Характеристики установившегося режима.

Сразу после включения системы в работу, протекающий процесс загрузки и освобождения каналов не будет стационарным и как в любой динамической системе возникает переходной период. Однако через некоторое время система может войти в стационарный режим.. (Система переходит в установившийся режим если для этого существуют условия)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Запишем систему уравнений для установившегося режима. В этом режиме производные равны нулю, а вероятности состояний не зависят от времени.

Перейдем к установившемуся режиму при и получим систему алгебраических уравнений Эрланга.