[2013] Билеты к экз. и кол. (Подготовка к экзамену (и коллоквиуму))

Вопросы по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения», 1поток, 2 курс, 2013 г.

1. Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве, динамика популяции.

2. Понятие решения ОДУ. ОДУ в симметричной форме. Общий интеграл.

3. Уравнение в полных дифференциалах (УПД). Теорема о существовании общего интеграла.

Теорема о необходимом и достаточном условии УПД.

1. Постановка задачи с начальными данными (задача Коши). Лемма Гронуолла-Беллмана.

2. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

3. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

4. Дифференциальное уравнение первого порядка, неразрешенное относительно производной. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

5. Особые решения уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной.

6. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы n-ого порядка.

7. Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы на всем отрезке.

8. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-ого порядка на всем отрезке.

9. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и линейного уравнения n-ого порядка на всем отрезке.

10. Общие свойства линейного ОДУ n-ого порядка.

11. Линейная зависимость и независимость скалярных функций. Определитель Вронского. Примеры.

12. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-ого порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.

13. Фундаментальная система решений (ФСР) для линейного однородного ОДУ n-ого порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении линейного, однородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

14. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. Метод вариации постоянных.

15. Построение ФСР для линейного ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

16. Построение линейного дифференциального уравнения n-ого порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского-Лиувилля.

17. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы ОДУ матричному ОДУ. Свойства решения матричного ОДУ.

18. Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского. Примеры.

19. Линейная зависимость и независимость решений линейной, однородной системы ОДУ. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.

20. ФСР для линейной однородной системы ОДУ. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении линейной однородной системы ОДУ. Матрициант.

21. Общее решение линейной неоднородной системы ОДУ. Метод вариации постоянных.

22. Построение ФСР для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы .

23. Построение ФСР для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базис из собственных векторов матрицы .

24. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начального условия и правой части. Теорема сравнения (неравенство Чаплыгина).

25. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра в начальном условии и правой части.

26. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру

27. Основные понятия теории устойчивости. Теоремы об устойчивости и неустойчивости решения линейной системы. Теорема об исследовании устойчивости решения системы по первому приближению (формулировка).

28. Исследование устойчивости решения системы на основе функции Ляпунова.

29. Исследование поведения решения системы в окрестности точек покоя.

30. Постановка краевой задачи, краевые условия. Редукция к основной краевой задаче с однородными краевыми условиями.

31. Тождество Лагранжа, формула Грина, формула для определителя Вронского.

32. Определение функции Грина. Существование и единственность функции Грина

33. Существование и единственность решения краевой задачи для любой правой части.

34. Существование и единственность решения краевой задачи для нелинейного уравнения.

35. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

36. Первые интегралы системы дифференциальных уравнений. Теорема о представлении решения задачи Коши через независимые первые интегралы.

37. Линейные, однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.

38. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о неявном определении решения через первый интеграл. Характеристики. Необходимое и достаточное условие для решения уравнения.

39. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

40. Функционалы, примеры. Вариация функционала, необходимое условие экстремума функционала.

41. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

42. Необходимое условие экстремума для функционала, содержащего производные высших порядков.

43. Необходимое условие экстремума для функционала, зависящего от функции двух переменных.

44. Задача на условный экстремум.

45. Вариационное свойство собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Первая часть курса включает в себя вопросы с 1 по 26

Профессор А.М.Денисов