7 (Электродинамика)

2.8.10.Тема 9. Квазистационарное электромагнитное поле

101. Вывести закон электромагнитной индукции из выражения для них силы Лоренца.

П усть замкнутый металлический проводник , к которому не приложены сторонние э.д.с., движется во внешнем магнитном поле с некоторой скоростью (рис.88). Тогда полная скорость каждого свободного носителя зарядов этого проводника будет складываться из скорости носителя относительно проводника и скорости проводника , т.е. и на электрон будет действовать сила Лоренца .

Второй член обуславливает силу, действующую на носители зарядов в неподвижном проводнике, они, как известно, могут искривить только путь носителя в проводнике. Первый член не равен нулю только в движущихся проводниках, и эта сила может возбуждать электрические токи. В этом и состоит явление индукции токов при движении проводника в магнитном поле.

Сила, действующая в магнитном поле на единичный заряд, движущийся в магнитном поле , равна силе, испытываемой этими зарядами в электрическом поле напряжённости . Но тогда, согласно закону Ома для полной цепи , где - сопротивление контура , - циркуляция веетора по контуру , .

Заметим, что мы решаем, по сути, математическую задачу, а математические задачи решаются с использованием математических операций, математических отношений, математических законов и т.п. Так, в аппарате векторной алгебры есть тождество для векторов :

.

Если это тождество использовать в данном случае, то будем иметь:

.

Преобразование формулы для с помощью тождества проводится для того, чтобы связать эту формулу с другим математическим соотношением

(1)

где - бесконечно малое перемещение элемента контура (в нашем случае контура с током), - обусловленное этим перемещением изменение магнитного потока сквозь этот контур. Действительно, поскольку , то подставив это выражение в формулу для , получим .

Сравнивая это выражение с (1), получим

Таким образом, закон электромагнитной индукции можно считать следствием силы Лоренца, поскольку он получен применением к изначальной формуле формальных математических операций без использования какого-либо физического содержания.

102. Две параллельные "рельсы" расположены в непроводящей плоскости, находящейся в магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости; расстояние между рельсами равно . По рельсам движется прямая металлическая палочка со скоростью (рис. 88) Что покажет вольтметр, включённый между рельсами, когда:

1) палочка приближается к прибору;

2) палочка проходит под прибором;

3) палочка удаляется от прибора.

. Значение магнитного потока в каждый момент времени Таким образом, поскольку и постоянны, получим - во всех случаях.

При изменении скорости изменится направление индукционного тока и полярность э.д.с.

103. Прямоугольная рамка со сторонами и движется равномерно со скоростью в направлении, перпендикулярном к бесконечно длинному прямому проводнику, лежащему в плоскости рамки параллельно стороне . По проводнику идёт ток силы . Найти э.д.с. , индуцируемую в рамке, и указать направление индукционного тока (рис.89 а).

При движении рамки э.д.с. возникает только в сторонах рамки, параллельных проводнику, по которому идёт ток . В ближайшей к проводнику стороне рамки , в другой стороне рамки

Е сли ток идёт по проводнику вниз, а рамка движется влево, то индукционный ток в рамке направлен по часовой стрелке, так как полярности э.д.с. и одинаковые и результирующая э.д.с. (рис. 89 б)

104. В однородном магнитном поле перпендикулярно направлению вектора индукции, величина которого движется провод длиной со скоростью перпендикулярной проводнику. Какая э.д.с. наводится в проводнике?

.

При движении проводника в магнитном поле на заряды проводника действует сила Лоренца. Если проводник замкнут, то возникает индукционный ток, если проводник не замкнут, то происходит разделение зарядов в проводнике и образуется э.д.с., при этом, разумеется, индукционного тока нет. Действительно, э.д.с. . Для рассматриваемого случая .

105. Задача для самостоятельного решения.

С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник вокруг одного из его концов в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям поля, чтобы в проводнике возникла э.д.с., равная . Длина проводника , индукция поля .

1 06. Определить коэффициент самоиндукции проводника, показанного на рисунке: ток идёт по проволоке диаметром , расположенной по оси достаточно тонкой металлической трубки диаметром и длиной переходит на дно трубки, к центру которого припаяна проволока, и возвращается обратно до поверхности трубки (рис. 90).

По определению , где - магнитный поток через трубку. Найдём этот поток. Индукция магнитного поля внутри трубки равна (краевыми эффектами пренебрегаем). Вне трубки поля нет, поскольку равные токи движутся в противоположных направлениях; при этом имеет место симметрия системы. Поток через радиальную перегородку

, где

Таким образом, на единицу длины

1 07. Задача для самостоятельного решения.

На кольцо из ферромагнетика намотаны две обмотки. По левой обмотке течёт пилообразный ток (рис. 91). Построить график э.д.с., наводимый во второй обмотке.

Итак, э.д.с. индукции обусловлена силой Лоренца. Однако э.д.с. по своему определению - работа сторонних сил, а сила Лоренца по своему определению - сила магнитная, а магнитные силы не производят работы, поскольку направление перемещения и силы Лоренца перпендикулярны друг другу. Как объяснить такую ситуацию?

Р ассмотрим знакомый нам пример с проводником, движущимся по рельсам со скоростью в магнитном поле с индукцией перпендикулярном плоскости, в которой лежат рельсы (рис. 92).

При движении перемычки длиной в магнитном поле , направленном "за плоскость" со скоростью возникает э.д.с. индукции и если контур замкнут (в данном случае на сопротивление ), то возникает индукционный ток , а на сопротивлении выделяется мощность (1).

Однако как только в проводнике возникает ток , то на этот ток в магнитном поле начинает действовать пондеромоторная (механическая) сила , направленная противоположно скорости, и перемычка останавливается. При этом возникнет механическая мощность

Итак, при возникновении индукционного тока всегда возникает механическая сила и таким образом суммарная работа силы Лоренца (работа электрической силы и возникающая при этом работа механической силы ) равна нулю: .

Ч тобы получить электрическую работу, надо совершить механическую работу за счёт внешних сил и таким образом скомпенсировать механическую работу, обусловленную силой Лоренца. В наших примерах таким образом, когда мы находим э.д.с. индукции и задаём условие: "перемычка движется со скоростью ", то это означает, что на перемычку действует внешняя сила (лоренцова сила), работа которой компенсирует механическую работу, обусловленную силой Лоренца. Если же мы за счёт внешнего источника э.д.с. скомпенсируем электрическую работу силы Лоренца, то получим механическую работу. Это свойство силы Лоренца - создавать механическую и электрическую работу, суммарно равную нулю, используется в технических устройствах. В первом случае, когда надо получить электрическую работу, используются электрогенераторы; во втором, когда надо получить механическую работу, используют электродвигатели. При этом, поскольку функционирование устройства зависит от внешних условий (подключим ли мы к нему внешний источник э.д.с. или подействуем на него внешней механической силой), то каждое такое устройство, сконструированное на использование силы Лоренца, может работать и как генератор, и как электродвигатель.

108. Найти к.п.д. электромотора. Электрический мотор состоит из якоря и магнита (рис.93). Якорь содержит много петель, намотанных на цилиндрический сердечник. Сердечник окружает постоянный магнит. Намотка подключена к внешней э.д.с. . При протекании тока по намотке возникают механические силы, которые приводят намотку в движение (вращение). При этом возникает пересечение силовых линий проводами с током и возникает э.д.с. индукции . направлена навстречу внешней э.д.с. и таким образом . Здесь - ток, текущий по обмотке, - сопротивление цепи. Полная мощность, затрачиваемая источником, идёт на совершение механической работы и нагревание обмотки: .

Таким образом, к.п.д. мотора

При максимальной нагрузке якорь заторможен и . В этом случае в цепи якоря ток достигает максимального значения : поэтому при отсутствии нагрузки . Ток в цепи равен нулю, якорь вращается с максимальной скоростью и э.д.с. индукции становится равной э.д.с. источника .

2.8.11.Тема 10: Электромагнитное поле

109. Заряд движется в вакууме с постоянной скоростью вдоль оси (рис.94)

а ) Найти плотность тока смещения создаваемого зарядом вблизи оси на расстоянии от заряда.