5 (Электродинамика), страница 3

Равенство потенциалов сфер даёт или .

Если , то .

Таким образом, можно сделать общий вывод: напряжённость поля больше у тех мест проводящей системы, где радиус кривизны меньше. Таким образом, на "остриях" поля и плотность зарядов максимальна.

2.8.6.2.Модель: точечные заряды и металлическая пластина

47. Найти силу взаимодействия точечного заряда , с расположенной на расстоянии большой металлической стенки.

Рассмотрим электрическое поле этой системы. Слева от стенки поле создано зарядом и индуцированными на стенке зарядами . Справа от стенки поле также создаётся зарядом и индуцированными на стенке зарядами, причём суммарное поле в толще стенки равно нулю. Равное нулю поле в правом полупространстве можно рассматривать как сумму полей заряда и индуцированных зарядов на стенке.

Т аким образом, поле индуцированных зарядов справа от границы эквивалентно полю одного точечного заряда , помещённого в ту же точку, где находится заряд . Но поле индуцированных зарядов симметрично относительно плоской границы металла. Поэтому слева от границы оно эквивалентно полю точечного заряда , расположенного справа от плоскости раздела симметрично заряду . Таким образом, сила взаимодействия заряда со стенкой равна силе двух точечных зарядов, расположенных симметрично относительно стенки на общем расстоянии и направлена к стенке (рис. 45).

Метод замены зарядов, индуцированных точечным зарядом на проводящей поверхности, расположенным симметрично относительно поверхности точечным зарядом противоположного знака, является частным случаем "метода изображений", используемым в электродинамике. Используя этот метод, можно с помощью простых вычислений находить силы взаимодействия систем точечных зарядов с плоскими проводящимися поверхностями, вводя для каждого заряда равный ему по величине и противоположный по знаку заряд, расположенный симметрично относительно заданной плоской поверхности.

48. Найти силу взаимодействия диполя с проводящей стенкой. Диполь расположен параллельно стенке на расстоянии от неё. Заряд диполя , длина диполя .

2.8.6.3. Модель "металлические пластинки"

49. Найти напряжённость электрического поля , двух больших металлических пластинок площадью , расположенных на расстоянии при помещении на одну из них заряда , а на другую .

П ри помещении на металлическую пластинку площадью заряда , заряд распределяется по поверхности пластины равномерно и на пластине возникает поверхностная плотность заряда .

Напряжённость для металлической пластины . Таким образом, в случае двух пластин общее поле по принципу суперпозиций , и в данном случае для области между пластинами ; для области слева и справа от пластин (рис. 46).

50. Задача для самостоятельного решения. Найти напряжённость поля двух больших металлических взаимно перпендикулярных пластин, если на одной из пластин расположен заряд с поверхностной плотностью , а на другой .

Одиночный проводник имеет характеристику "электроемкость уединённого проводника", она определяется как отношение заряда к его потенциалу и зависит только от геометрии проводника. Если взять систему металлических проводников в диэлектрической среде, расположенных друг от друга на определенных расстояниях, то такая система будет характеризоваться электрической ёмкостью - величиной, зависящей от геометрических свойств системы проводников. В общем случае расчёт электрической ёмкости системы проводников связан с большими математическими трудностями, но существуют простые системы проводников, в которых электрическая ёмкость может быть найдена в рамках прямого использования общих и фундаментальных законов и их следствий.

Системы металлических проводников имеют технические приложения: одно из них - накопитель энергии электрического поля, т.е. устройство, имеющее запас электрической энергии, сосредоточенный локальном объёме. Такой накопитель можно создать из проводников определённой геометрической формы. Общее требование к таким устройствам следующее: проводников должно быть два (так как имеется два рода зарядов), а форма и взаимное расположение проводников должны быть такими, чтобы при заряде проводников равными по величине и противоположными по знаку зарядами электрическое поле вне проводников было равно нулю (не было рассеяния поля, которое приводит к снижению эффективности накопителя.). Устройства из металлических проводников, удовлетворяющих этим требованиям, носят название конденсаторы.

Самый простой конденсатор - система из двух металлических пластин площадью , расположенных на расстоянии друг от друга, при этом . Если зарядить каждую из этих пластин зарядом и , то (как показано ранее) между пластинами возникнет поле (справа и слева от пластин поле будет равно 0, краевыми эффектами мы пренебрегаем в силу условия ).

По определению, ёмкость конденсатора равна отношению заряда, расположенного на положительной пластине к разности потенциалов между пластинами, т.е. . Поскольку поле однородно, то и тогда .

Таким образом, в плоском конденсаторе с "вакуумной" щелью , если щель между пластинами заполнить диэлектриком с проницаемостью , то поле уменьшится в раз, а значит, ёмкость возрастёт в раз, т.е. в этом случае (Ф). Независимо от конструкции, любой конденсатор обозначается значком ┤├. Электроёмкость произвольной системы проводников рассчитать очень сложно, но если эту систему можно разбить на систему парных проводников, удовлетворяющих условиям конденсаторов, то задача сильно упрощается. Итак, допустим, что система проводников может быть представлена как система конденсаторов, соединённых между собой. В этом случае она носит название батареи конденсаторов. Соединение проводниками конденсаторов может быть проведено различными способами:

а ) Соединим конденсаторы так, что, заряжая первую пластину первого конденсатора зарядом , а вторую пластину последнего конденсатора зарядом , мы зарядим каждый конденсатор и (рис. 47). При этом для любых двух изолированных пластин сумма заряда , а на каждой положительной обкладке (1). Работа в такой цепи по перемещению единичного положительного заряда (2), где - разность потенциалов на обкладке каждого конденсатора. Такое соединение конденсаторов называется последовательным, т.к. то используя (1) и (2) получим .

Можно соединить конденсаторы так, чтобы разность потенциалов на всех конденсаторах была одинакова (1) (рис. 48). В этом случае общий положительный заряд системы (2). В этом случае из (1) и (2) получим, Такое соединение конденсаторов называют параллельным.

Т аким образом, если дана произвольная батарея конденсаторов, ёмкость которой надо рассчитать, следует батарею представлять как совокупность отдельных конденсаторов, соединённых между собой последовательно или параллельно, и, используя формулы для последовательного и параллельного соединений для этих совокупностей, последовательно упрощать схему, заменяя в ней эти совокупности одним конденсатором так, чтобы в конечном итоге придти к одному эквивалентному конденсатору. Такой способ носит название метод эквивалентных схем.

51. Найти ёмкость между точками и (см. рис. 49).

М
етод эквивалентных схем может использоваться, если с самим конденсатором производятся определённые манипуляции. Рассмотрим два примера.

52. Поместим в конденсатор с параметрами и пластину ширины и определим, как при этом изменится и ёмкость конденсатора.

При помещении пластинки в конденсатор, поле снаружи пластинки не изменится, а внутри будет равно нулю, при этом на левой стороне пластинки возникнут отрицательные заряды, а на правой - положительные (рис. 50).

Таким образом, полученная конструкция будет эквивалентна двум конденсаторам, соединённым последовательно; при этом расстояние между обкладками одного конденсатора , а у другого . Действительно, поле между сторонами и одно и то же, а в промежутке поля нет. Тогда ёмкость

.

Итак, можно сделать выводы.

1) Металлическую пластинку, помещённую в пространство между

о бкладками плоского конденсатора, можно представить как две бесконечно тонкие пластинки, соединённые проводниками (рис. 51).

2) Пластинка "съедает" поле в пространстве, равное его объёму, и положение пластинки не влияет на ёмкость - играет роль только толщина.

3) Бесконечно тонкая пластинка, помещённая внутрь конденсатора, не изменяет его ёмкости.