2.8.3.Тема 2. Модели электростатики: тела с объёмным, поверхностным и линейным распределениями зарядов.

2 2. Рассмотрим, как ведет себя вектор на заряженной поверхности (рис. 32).

Рассмотрим произвольную заряженную поверхность . Пусть -внешняя нормаль к поверхности (выбирается произвольно). Используем теорему Гаусса и выберем такую поверхность, которая максимально упростит вычисления. Выделим около рассматриваемой точки (той, в которой мы хотим определить поведение ) заряженной поверхности прямую призму с образующими перпендикулярными к поверхности, и пусть эта призма вырезает из поверхности элемент столь малый, что его можно считать плоским и равномерно заряженным.

Внутри призмы находится заряд . По теореме Гаусса . Выделим поток через замкнутую поверхность, ограниченную призмой. Поток через нижнее основание призмы равен , где - внешняя нормаль к верхнему основанию призмы, а и - векторы у соответствующих оснований призмы. Если поток через боковую поверхность обозначить , то полный поток через поверхность призмы .

Направление совпадает с , а направление противоположно ей. Поэтому . Будем неограниченно уменьшать , т.е. возьмем , так как , то

окончательно получим .

Таким образом, нормальные составляющие вектора в двух смежных точках поля, разделённых заряженной поверхностью , испытывают разрыв величины .

23. Рассмотрим поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Из принципа симметрии следует, что в этом случае напряжённость поля должна быть перпендикулярна этой плоскости и должна иметь противоположные направления по обе стороны от неё. Выделим в поле плоскости прямую призму с основанием и образующими, перпендикулярными к , и расположим призму сначала так, чтобы она не пересекала плоскость, т.е. находилась по одну сторону от плоскости (рис. 33).

В этом случае поток через боковую поверхность п ризмы равен нулю, поскольку нормаль к боковой поверхности призмы везде перпендикулярна и таким образом .

Полный поток через призму равен 0, поскольку внутри призмы нет заряда, т.е. .

Так как , и направлены одинаково, а нормали противоположно, то и . Поскольку положение призмы выбрано произвольно, то из этого равенства следует, что во всех точках ограниченного плоскостью полупространства .

В другом полупространстве вектор будет иметь ту же величину и противоположное направление. Чтобы определить , используют общую формулу: . В данном случае слагающие вектора по направлению нормали имеют по разные стороны плоскости противоположные знаки, но равны по величине и численно равны вектору . Поэтому

Следовательно, во всех точках , где - абсолютная величина поверхностной плотности заряда, расположенного на плоскости.

24. Поверхность бесконечно длинного кругового цилиндра равномерно заряжена с линейной плотностью заряда . Найти внутри цилиндра и вне цилиндра. (Рис.34).

Вследствие симметрии вектор будет параллелен (или антипараллелен для отрицательного заряда) и является только функцией , ( - вектор кратчайшего расстояния рассматриваемой точки пола от оси цилиндра).

Окружим цилиндр замкнутой цилиндрической поверхностью высоты и радиуса . Поток вектора через эту замкнутую цилиндрическую поверхность будет равен потоку через боковую поверхность , так как поток через основание цилиндрической поверхности равен нулю и и . По теореме Гаусса, , т.е.

таким образом, при , при .

При прохождении через поверхность цилиндра ( ) имеет место скачок вектора . Самое общее условие (выведенное ранее)

Найдём связь между и .

. Если на цилиндрической поверхности радиуса распределён заряд с поверхностной плотностью , то общий заряд , расположенный на куске этой поверхности длины :

, откуда ,

таким образом . Подставляя это выражение в общую формулу, получим .

25. Заряд равномерно распределён с плотностью по шару радиуса . Найти вне шара и внутри шара.

В силу принципа симметрии, вектор параллелен (или антипараллелен) и является функцией только . Применение теоремы Гаусса к сфере радиуса даёт для ,

для , так как полный заряд .

При прохождении через поверхность сферы (т.е. ) и разрыва нет. Поэтому при и при .

26. Для самостоятельного решения: заряд равномерно распределен по сферической поверхности произвольного радиуса. Доказать, что поле внутри , и вне шара выражается формулами

, где - радиус-вектор, проведённый из центра шара в рассматриваемую точку поля. Показать, что существующий скачок при прохождении через поверхность шара равен .

27. Электрическое поле описывается выражением . Найти плотность зарядов, создающих это поле.

Плотность зарядов содержится в прямом виде в уравнении или . Так как выражение для задано, то для получения ответа достаточно найти .

и таким образом

.

Аналогичные выражения можно получить для и . Тогда

2 8. Бесконечная пластина ширины заряжена с постоянной объёмной плотностью . Найти напряжённость поля (рис. 35). Построить график .

В силу принципа симметрии, картина вектора должна быть симметрична относительно вертикальной плоскости 00', проходящей через центр пластины, при этом на плоскости 00' , а линии перпендикулярны плоскости пластины. Выберем цилиндрическую поверхность длины , основание которой расположено на плоскости 00' и посчитаем поток вектора через эту замкнутую поверхность. Поток через боковую поверхность равен 0, так как нормаль к боковой поверхности , поток через основание, лежащее на плоскости 00', равен 0 ( ) и таким образом полный поток равен потоку через другое основание .

По теореме Гаусса-Остроградского, имеем

при ; при .

Получим или при

или при

График см. на рис. 35.

29. Задача на самостоятельное решение: напряжённость электрического поля . Найти плотность зарядов, создающих это поле.

30. Найти потенциал поля шара радиуса , равномерно заряженного по всему объёму с объёмной плотностью , при условии, что .

Используем общую формулу

.

Так как поле потенциально и значение интеграла не зависит от выбора пути, возьмем в качестве пути интегрирования радиус-вектор .

Тогда для точек, лежащих вне шара, получим и, учитывая ранее полученный результат, а именно:

, где , получим при .

На поверхности шара .

Для любой точки внутри шара по общей формуле

,

где - поле внутри шара (ранее найдено, что - ) и

31. Задача на самостоятельное решение. Найти потенциал поля бесконечного полого равномерно заряженного цилиндра. Радиус цилиндра , линейная плотность заряда . Учесть, что для бесконечных тел удовлетворить условию невозможно.

2.8.4.Тема 3. Модели электростатики "Одиночные проводники в электростатическом поле".

32. Большая плоская металлическая пластинка вносится в однородное электростатическое поле (как показано на рис. 36), напряжённости . Что произойдёт с полем?

П ри внесении пластинки в поле на её поверхностях возникнут поверхностные заряды: согласно рисунку, справа - положительные с поверхностной плотностью , слева - отрицательные с поверхностной плотностью , В каждой точке пространства (внутри и вне пластинки) напряжённость электрического поля будет создаваться согласно принципу суперпозиций напряжённостью внешнего поля и напряжённостями положительных и отрицательных зарядов и .

Внутри проводника направления напряжённостей и совпадают, и они направлены противоположно направлению поля , причём так, что . Вне проводника их направления противоположны, и так как в силу симметрии величины и одинаковы, то эти поля компенсируют друг друга и поэтому вне пластины . На поверхностях пластины можно для левой и правой поверхностей использовать общую формулу . В результате получим, что . Таким образом, при внесении большой плоской металлической пластины в однородное поле, поле в объёме, занимаемом пластиной, становится равным нулю, поле вне пластины не изменяется, а на поверхностях пластины возникают поверхностные заряды разного знака с поверхностной плотностью .

33. На большой металлической пластине имеется заряд, распределённый с поверхностной плотностью . Чему равно электрическое поле, созданное этим зарядом?

Внутри проводника поле . Чтобы найти поле вне проводника, используем общую формулу . Получим , где - нормаль к поверхности проводника.

3 4. Большую металлическую пластину толщины зарядим так, что плотность заряда на поверхности каждой стороны пластины равна . Затем пластину поместили в однородное поле напряжённости , перпендикулярной плоскости пластины (рис. 37). Определить напряжённость поля внутри и снаружи пластины и поверхностную плотность зарядов и , которая возникнет на левой и правой сторонах пластины.

Поле внутри пластины равно нулю и является суперпозицией трёх полей: поля , поля, создаваемого левой стороной пластины (плоскостью) и поля, создаваемого правой стороной пластины (плоскостью).