2.6.Электромагнитная индукция

"Таким образом, индуцированный электрический ток,

возбуждаемый в движущихся по отношению к магнитам тела

зависит от пересечения магнитных кривых металлом".

М. Фарадей

2.6.1. Закон электромагнитной индукции.

Итак, электрический ток создаёт магнитное поле. М. Фарадей решил, что имеет место и "обратное явление" - магнитное поле должно создать электрический ток" и поставил себе цель "превратить магнетизм в электричество". Опыты с неподвижными проводниками в постоянном поле никаких эффектов не дали, и тогда Фарадей начал проводить опыты с движущимися проводниками и с переменными магнитными полями. Ему удалось на основании многих экспериментов сделать качественные выводы о роли магнитного поля в возникновении электрического тока. Количественную формулировку закона электромагнитной индукции впервые дал Ф. Нейман.

Ч тобы понять, о чём речь, рассмотрим самый простой случай: опытная схема представляет из себя два параллельных проводника, расположенные на плоскости на расстоянии друг от друга и замкнутые через амперметр (рис. 16).

Проводники расположены в однородном постоянном магнитном поле, вектор которого перпендикулярен плоскости и направлен вниз (отмечено "крестиком"). На проводниках, перпендикулярно к ним, расположен проводник , который может двигаться вдоль проводников. Когда проводник неподвижен, то поток вектора через замкнутый контур равен , где - внешняя положительная нормаль. Итак, поток положителен, если обод контура по часовой стрелке. Пусть теперь проводник движется со скоростью по проводникам, находясь всё время с проводниками в контакте. В проводнике есть электрические заряды: свободные (электроны) и закрепленные (ионы). Поскольку заряды будут двигаться с проводником со скоростью , то на них будет действовать сила Лоренца . Неподвижные заряды останутся на своих местах относительно проводника, так как сила Лоренца слишком мала, чтобы разорвать связи, закрепляющие ионы на своих местах, а свободные (электроны) под действием этой силы начнут двигаться, создавая электрический ток. Поскольку за положительное направление тока принято движение положительных зарядов, то будем придерживаться этого правила и в данном случае. С учётом этого правила, электрический ток, возбуждённый силой Лоренца при движении проводника в магнитном поле будет иметь направление, показанное на рис. 16 (вверх). Абсолютное значение силы, действующей на каждый заряд , где , - расстояние, проходимое проводником за время и тогда . При движении заряда под действием силы производится работа , откуда . Так как и в данном случае постоянны, то их можно внести под знак приращения и тогда , где - поток вектора через замкнутый контур, ограничивающий площадь .

Окончательно мы можем написать: .

Слева стоит работа по перемещению положительного электрического заряда сторонними силами. Действительно, сила Лоренца является сторонней, так как не имеет электростатического характера. По определению, это электродвижущая сила и она носит название э.д.с. индукции ( ). Справа стоит скорость изменения магнитного потока. Пропорциональность означает, что имеет место коэффициент, который может иметь и разное значение, и разный знак.

Вспомним, что начальный магнитный поток мы считали положительным. Изменение магнитного потока происходит за счёт индукционного тока. При заданном направлении индукционного тока его магнитное поле в пределах контура имеет направление, заданное на чертеже вверх, "к нам". Таким образом, поток, связанный с протеканием электрического тока, отрицателен и имеет знак "-".

Окончательно , где - зависит от выбора системы единиц в системе СИ .

Математическая модель .

Данное выражение, полученное в простом случае, справедливо и в общем случае, т.е. э.д.с. индукции возникает всегда, когда хотя бы одна из "компонент" магнитного потока - изменяются во времени.

Рассмотрим замкнутый проводник, по которому течёт электрический ток силы . В пространстве вокруг проводника существует магнитное поле. Контур проводника пронизывается потоком магнитной индукции , величина которого пропорциональна току . Действительно, каждый элемент тока в проводнике вызывает в каждой точке поверхности, охватываемой контуром, магнитное поле (по закону Био-Савара) , а полное поле при этом ,

где интеграл берётся по всему контуру, по которому течёт ток . Отсюда следует, что вектор магнитной индукции в каждой точке пространства вокруг проводника пропорционален силе тока, текущего по этому проводнику. При этом коэффициент пропорциональности зависит только от геометрии проводника. А так как поток вектора магнитной индукции через контур пропорционален вектору , то и поток вектора через контур пропорционален току, текущему в контуре, т.е. . Коэффициент пропорциональности , зависящий только от геометрии контура, называется индуктивностью проводника. В системе СИ размерность индуктивности . При использовании индуктивности закон электромагнитной индукции Фарадея в общем случае имеет вид , если контур не изменяется, то и .

2.6.2. Вихри электрического поля

В общей форме для подвижных проводников закон индукции Фарадея имеет вид: , причём возникновение электрического тока обусловлено силой Лоренца.

Однако закон Фарадея справедлив и для неподвижных проводников. В случае, когда положение проводников зафиксировано в конкретных точках пространства, это выражение, согласно математическим правилам, может быть записано как , т.е. заменой производной по времени – частной производной по времени.

Однако, если проводники неподвижны, то нельзя говорить о лоренцовской силе как причине э.д.с. и выражение закона индукции надо истолковывать по-другому, т.е. причину искать в другом, а именно: индукция в неподвижных проводниках при изменениях магнитного поля есть результат воздействия электрического поля, возбуждаемого полем магнитным. Таким образом, в общем случае электрическое поле в контуре может возбуждаться стационарными электрическими зарядами и изменением магнитного поля.

В общем случае для замкнутого контура

,

так как для кулоновского поля циркуляция равна нулю. При выводе этого уравнения предполагалось, что контур интегрирования совпадает с контуром проводника.

Однако, поскольку причиной возбуждения электрического поля является поле магнитное, а оно существует и вне проводника, то естественно допустить, что и электрическое поле, возбуждаемое магнитным, существует и вне проводника, т.е. уравнение будет применимо к любому замкнутому неподвижному контуру интегрирования вне зависимости от того, проходит ли этот контур по проводникам, по диэлектрику, по вакууму, и что отличие проводящего контура от непроводящего сказывается лишь в том, что только в проводниках возбуждение поля ведёт к появлению тока. В этом случае, если на опирающейся на контур поверхности нет разрыва можно использовать уже знакомое нам математическое соотношение:

.

Это уравнение справедливо при любом выборе контура и поверхности интегрирования , а это возможно только в случае

.

Таким образом, электрическое поле может возбуждаться не только электрическими зарядами, но и изменениями магнитного поля. Проведём математическую операцию, а именно: возьмём дивергенцию от обеих частей этого уравнения: .

Таким образом, в каждой точке пространства должна иметь постоянное значение и ни при каких физических процессах изменяться не может. Достаточно допустить, что при отсутствии токов и магнетиков индукция (а значит, и ) во всём пространстве равна 0 и тогда .

2.6.3. Уравнение непрерывности

Ранее было рассмотрено уравнение непрерывности для токов , где - заряд, находящийся в ограниченном поверхностью объёме , , где - плотность объёмного заряда. Таким образом, , если нет разрывов и нет поверхностных зарядов, то, используя уже известное нам математическое соотношение, получим

.

В виду произвольности объёма - дифференциальное уравнение непрерывности. На поверхности разрывов согласно общим правилам оно должно быть заменено уравнением , где - плотность поверхностных зарядов. Для постоянных токов (как мы ранее убедились) справедливо .

2.6.4. Токи смещения

Вспомним, что уравнение магнитного поля постоянных токов имеет вид . Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения , так как согласно уравнению непрерывности , то получим , но для любого вектора всегда! Поэтому для переменных токов имеет место несовместимость уравнений. Таким образом уравнение магнитного поля для переменных токов нуждается в "модернизации".

Будем опираться на справедливость уравнения непрерывности (поскольку оно есть следствие закона сохранения заряда, самого фундаментального закона природы) и используем чисто математические операции.

Итак, возьмём за основу "истины", которые изменять нельзя: