Программа курса
Описание файла
Документ из архива "Программа курса", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Программа курса"
Текст из документа "Программа курса"
ПРОГРАММА курса "Дифференциальные уравнения"
для студентов II курса (3-4 семестры) факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ
Часть I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциальных уравнений. Математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
2. Постановка задачи с начальными данными. Понятие корректности постановки задачи. Лемма Гронуола-Беллмана.
3. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
5. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности решения.
6. Особые решения уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной.
7. Общий интеграл уравнения первого порядка. Интегрирующий множитель.
8. Нормальные системы ДУ. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы и уравнения n-го порядка.
9. Непрерывность решений дифференциальных уравнений по начальным
данным и параметрам. Регулярно возмущенные системы дифференциальных
уравнений. Понятие о сингулярном возмущении. 10.Линейное дифференциальное уравнение п-го порядка и его общие свойства.
Сведение к нормальной системе первого порядка. Существование решения. 11 .Линейное уравнение второго порядка. Понижение порядка уравнения.
Уравнение Риккати.
12. 0бщая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Определитель Вронского. Линейная независимость решений системы.
13.Фундаментальная система решений и общее решение для линейной системы уравнений.
14.Решение неоднородной системы уравнений.
15.Построение фундаментальной системы решений для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае некратных корней характеристического уравнения.
16. Построение фундаментальной системы решений для системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения.
17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Исследование решения уравнения второго порядка. Формула Остроградского-Лиувилля.
18. Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость решения линейной системы.
19. Исследование устойчивости решения системы по первому приближению.
20. Исследование траекторий в окрестности точки покоя.
Часть II. Краевые задачи и вариационное исчисление
21 Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
22.Формула Грина. Построение решения краевой задачи с помощью функции Грина.
23.Существование функции Грина. Постановка краевой задачи при
существовании решения однородной краевой задачи. 24.Обобщенная функция Грина и представление решения краевой задачи с ее
помощью. 25 Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства.
26.Редукция задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
27.Решение неоднородного интегрального уравнения с симметричным ядром. Теорема Стеклова.
28.Поведение решения задачи Штурма-Лиувилля При х -> 0, если р(х =0)=0.
29.Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда. Уравнение Бесселя.
30.Собственные функции краевой задачи для уравнения Бесселя. 31 .Линейные уравнения в частных производных первого порядка
32.Постановка обратных задач для дифференциальных уравнений. Интегральное уравнение первого рода для определения правой части уравнения. Неустойчивость его решения.
33.Понятия функционала и его вариации. Постановка вариационной задачи. Необходимое условие экстремума.
34 Основная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера.
35 Функционалы, содержащие производные порядка выше первого.
Необходимые условия экстремума.
36.Многомерные вариационные задачи. Уравнение Эйлера-Остроградского. 37.Вариационные задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Литература
1. Тихонов А.Н.Васильева А.Б., Свешников А.Г. "Дифференциальные уравнения".
2. Эльсгольц Л.Э. "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление".
3. Дмитриев В.И.Дифференциальные уравнения
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л.С. "Обыкновенные дифференциальные уравнения".
2. Петровский И.Г. "Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений".