ДеВан - программа 2-го потока

Программа курса «Действительный Анализ» 2-й курс, 2-й поток, 2002-2003 учебный год.

Лектор профессор А.И.Аптекарев

1. Системы множеств (кольцо, полукольцо, -кольцо, -алгебра). Минимальное кольцо порожденное полукольцом.

2. Мера на полукольце, - аддитивность. Теорема о продолжении меры с полукольца на порожденное им кольцо.

3. Счетная полуаддитивность - аддитивных мер на кольце, непрерывность меры.

4. Внешняя мера Лебега, её - полуаддитивность. Внешняя мера Жордана.

5. Алгебра измеримых множеств, аддитивность на ней внешней меры.

6. Теорема : измеримые по Лебегу множества образуют -алгебру.

7. Продолжение меры по Лебегу. - аддитивность меры Лебега, полнота.

8. Классическая мера Лебега её свойства. Существование неизмеримого множества.

9. Мера Лебега-Стилтьеса, её - аддитивность.

10. Меры Бореля, - конечные меры.

11. Определение и основные свойства измеримых функций на . Теорема о пределе последовательности измеримых функций.

12. Теорема о приближении неотрицательной измеримой функции простыми функциями.

13. Сходимость по мере и почти всюду. Их связь.

14. Теорема Егорова. Формулировка теоремы Лузина о С-свойстве.

15. Интеграл Лебега для простых функций, его свойства. Определение интеграла Лебега для измеримых функций. Интегрируемые функции.

16. Теорема о пределе интегралов для простых функций. Эквивалентное определение интеграла Лебега с помощью приближения измеримой функций простыми.

17. Свойства интеграла Лебега для измеримых и интегрируемых функций (Равенство нулю интеграла по множеству меры ноль; равенство интегралов от эквивалентных функций; мера множества бесконечных значений интегрируемой функции).

18. Неравенство Чебышева. Эквивалентность нулю неотрицательных функции с нулевым интегралом.

19. Интегральные суммы Лебега. Сравнение с интегралом Римана.

20. Теорема Беппо - Леви и её следствия.

21. Теоремы Фату и Лебега о предельном переходе. Критерий интегрируемости в терминах срезки.

22. Интеграл Лебега как функция множества. Его - аддитивность и абсолютная непрерывность.

23. Прямое произведение мер. Интегрируемость меры сечений. Теорема Фубини.

24. Заряды. Разложение Хана, его существование и единственность. Разложение Жордана, полная вариация заряда.

25. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радона-Никодима.

26. Определение VB-функций. Вариация функций на отрезке и её аддитивность. Представление VB-функции в виде разности монотонных функций.

27. Существование производной у VB-функции. Теорема о дифференцируемости монотонной функции.

28. Определение АС-функций, связь с VB-функциями. Определение неопределенного интеграла Лебега и его абсолютная непрерывность.

29. Теоремы о производной неопределенного интеграла и о дифференцируемости АС-функции.

30. Определение интеграла Лебега-Стилтьеса.

31. Пространства . Неравенства Гельдера и Минковского.

32. Полнота пространства , и другие его свойства.

Заведующий кафедрой теории функций и функционального

анализа, член-корр. РАН, профессор / П.Л. Ульянов /

Профессор / А.И. Аптекарев /