М.И. Дьяченко - программа курса

ПРОГРАММА КУРСА «ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ »

весна 2002/03 уч.г., лектор — д.ф.-м.н., профессор М. И. Дьяченко

1. Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, σ-алгебры и т.д.). Минимальные кольца и их свойства. Связь между σ-кольцами и δ-кольцами.

2. Меры на полукольцах. Классическая мера Лебега на полукольце промежутков
   в Rⁿ и ее σ-аддитивность.

3. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо.

4. Внешние меры Лебега и Жордана. Их полуаддитивность.

5. Меры Лебега и Жордана. Их свойства.

6. Связь σ-аддитивности и непрерывности. Полнота мер. Мера Бореля.

7. Меры Лебега-Стилтьеса на прямой.

8. σ-конечные меры.

9. Теорема о структуре открытых множеств.

1. Измеримые функции. Их арифметические свойства. Суперпозиции измеримых
   функций.

2. Измеримые функции и предельный переход. Теорема об измеримости
   производной непрерывной функции.

3. Сходимость по мере и ее свойства.

4. Сходимость почти всюду. Критерий этой сходимости на множествах конечной меры.

1. Связь между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.

2. Теорема Егорова. Теорема Лузина (б/д).

3. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.

4. Определение интеграла Лебега в общем случае. Монотонные последовательности простых функций. Линейность интеграла Лебега по функции и по множеству для неотрицательных функций.

1. Линейность интеграла Лебега по функции в общем случае. Интегрирование
   неравенств.

2. Теорема Леви о предельном переходе и ее следствия.

3. Теоремы Фату и Лебега.

4. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.

5. Критерий интегрируемости по Лебегу на множестве конечной меры.
   Неравенство Чебышева.

6. Связь между интегралами Римана и Лебега на отрезке в Rⁿ.

7. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства L_p.

8. Полнота пространств L_p.

1. Представление интеграла от p-той степени функции (1<p< ∞) с помощью функции распределения.

2. Теорема о плотных множествах функций в пространствах L_p (1<p<∞).

3. Заряды. Разложения Хана и Жордана.

4. Теорема Радона-Никодима.

5. Прямые произведения мер.

6. Теорема Фубини.

Заведующий кафедрой теории

функций и функционального анализа

член-корреспондент РАН, профессор П.Л.Ульянов

Лектор
д.ф.-м.н., профессор М.И.Дьяченко