Билеты по теории вероятностей

Программа курса "Теория вероятностей" (химический Факультет МГУ,

2-ой курс, 200З/2004 учебный год)

1. Правило умножения и правило сложения комбинаторики. Выборки из генеральной совокупности. Выборки упорядоченные и неупорядоченные, с возвращением и без возвращения. Размещения частиц (различимых и неразличимых) по различимым неупорядоченным ячейкам (с запретом и без запрета). Подсчет их количества.

2. Множество. Подмножество. Множество всех подмножеств. Опе­рации над множествами и их свойства. Примеры.

3. Отображения множеств. Образ и прообраз. Полный прообраз. Эквивалентность множеств. Счетные и континуальные множества. Примеры. Алгебра и сигма-алгебра множеств. Примеры.

4. Разбиение множества. Число разбиений конечного множества на заданное число подмножеств с фиксированным числом элементов в каждом подмножестве.

5. Случайный эксперимент. Стохастическая устойчивость частот. Формализация вероятностной задачи. Вероятностное пространс­тво. Дискретные и произвольные пространства элементарных исходов (ПЭИ). Примеры. Случайные события. Операции над событиями. Связь вероятностной терминологии с теоретико-множественной терминологией. Алгебра и сигма-алгебра событий. Примеры.

6. Вероятность (вероятностная мера) в дискретном ПЭИ. Аксиомы. Примеры задания вероятности в дискретном ПЭИ. Классическое определение вероятности. Теорема сложения и ее обобщения. Примеры.

7. Произвольное ПЭИ. Вероятность (вероятностная мера) в про­извольном ПЭИ. Аксиомы теории вероятностей. Аксиома непрерывности. Геометрические вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности, вытекающие из аксиом.

8. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимость событий. Независимость событий в совокупности. Пример С. Н. Бернштейна. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

9. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами (схема Бернулли). Вероятностное пространство для схемы Бернулли. Последовательность независимых испытаний с N (N > 2) исходами (полиномиальная схема).

10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная предельная теорема Муавра (без док-ва). Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (без док-ва). Примеры применения теорем.

11. Сигма-алгебры числовых множеств на R (борелевские алгебры). Случайная величина (определения). Функция распределения. Распределение вероятностей. Свойства Функции распределения (поведение в бесконечности и непрерывность слева — без док-ва). Индуцированное вероятностное пространство.

12. Дискретные случайные величины (распределения). Функция распределения. Примеры: вырожденное, дискретное равномерное, бернуллиевское, биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое распределения; распределение Паскаля. Содержательный смысл указанных распределений. Предельные значения для гипергеометрических вероятностей.

13. Абсолютно непрерывные случайные величины (распределения). Функция распределения. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение на отрезке, нормальное распределение с параметрами (а, б), стандартное нормальное распределение, показательное распределение (свойство отсутствия последействия), распределение Коши. Содержательный смысл указанных распределений.

14. Многомерные распределения. Функция распределения случайного вектора и ее свойства (без док-ва). Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные распределения. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение в области на плоскости, дву­мерное нормальное распределение, дискретное распределение на ко­нечном множестве точек плоскости. Связь маргинальных (одномерных) распределении с совместным распределением. Примеры.

15. Независимость случайных величин (определения). Необходимые и достаточные условия независимости дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин (без док-ва).

16. Функции (борелевские) от случайных величин. Преобразование n-мерного случайного вектора в m-мерный. Пример: нахождение плотности распределения квадрата нормальной стандартной случайной величины (распределение хи-квадрат с одной степенью свободы). Формула композиции (свертка). Распределение суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин. Пример: нахождение плотности суммы двух независимых случайных величин, одна из которых имеет равномерное распределение на отрезке [-0,5h; 0,5h], h > 0, а другая — нормальное распределение с параметрами (О, б).

17. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Формулы для вычисления математического ожидания Функций от случайных величин. Свойства математического ожидания. Вычисление математического ожидания биномиальной и гипергеометрической случайных величин с помощью их представления в виде сумм бернуллиевсних случайных величин. Дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства. Дисперсия линейной комбинации м произ­вольных случайных величин. Примеры. Связь между независимостью и некоррелированностью. Примеры.

18. Неравенства Маркова и Чебышева. Примеры применения нера­венства Чебышева: оценка вероятности успеха в схеме Бернулли по частоте, оценка доли брана в партии изделии по доле брака в конт­рольной выборке. Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. Теорема Маркова (достаточное условие применимости закона больших чисел). Теоремы Чебышева и Бернулли. Примеры.

19. Сходимость по распределению (слабая сходимость). Цент­ральная предельная теорема (различные достаточные условия выпол­нения теоремы - без док-ва). Примеры применения. Понятие асимпто­тической нормальности. Интегральная предельная теорема Муавра -Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы.

20. Теорема Слуцкого (без док-ва).