Вопросы к коллоквиуму (А.В. Михалёв)

Вопросы к коллоквиуму по курсу «Высшая алгебра»

(3-й семестр)

Лектор – А.В. Михалёв, 2002/2003

1. Порядок степени элемента группы.

2. Циклические группы, их подгруппы.

3. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа, ее следствия.

4. Нормальная подгруппа. Факторгруппа, естественный эпиморфизм.

5. Центр группы, централизатор элемента.

6. Коммутант группы.

7. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теоремы о гомоморфизме.

8. Группа автоморфизмов группы. Внутренние автоморфизмы.

9. Прямое произведение (прямая сумма) групп. Факторизация по прямым слагаемым.

10. Критерий цикличности прямой суммы циклических групп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп.

11. Условие расщепляемости короткой точной последовательности абелевых групп.

12. Периодическая часть абелевой группы.

13. Свободная абелева группа, ее ранг, равенство нулю ее периодической части.

14. Свойства свободной абелевой группы.

15. Подгруппы свободных и конечно порожденных абелевых групп.

16. Задание конечно порожденных абелевых групп образующими и соотношениями.

17. Целочисленные матрицы, приведение их к каноническому диагональному виду.

18. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических групп (свободной группы и конечных примарных циклических групп).

19. Примарные компоненты.

20. Единственность разложения конечной примарной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических групп.

21. Действия групп на множествах, орбиты и стабилизаторы. Стабилизаторы точек одной орбиты.

22. Разложение подстановки в произведение непересекающихся циклов.

23. Регулярное действие группы. Теорема Кэли.

24. Действие группы сопряжениями, разбиение на классы сопряженных элементов.

25. Нетривиальность центра конечной p-группы.

26. Группа порядка р² абелева.

27. Первая теорема Силова.

28. Вторая и третья теоремы Силова.

29. Разрешимые группы. Разрешимость примарной конечной группы.

30. Классы сопряженных элементов, центр и коммутант группы S_n.

31. Разрешимость группы порядка pq.

32. Разрешимость группы треугольных матриц.

33. Простота группы a₅.