Вопросы к экзамену по курсу «Высшая алгебра»

(3-й семестр)

Лектор — А.В. Михалёв, 2002/2003

1. Порядок элемента группы, порядок степени элемента.

2. Циклические группы, их подгруппы.

3. Подгруппа, порожденная подмножеством элементов группы.

4. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа, ее следствия (теоремы Эйлера и Ферма).

5. Нормальные подгруппы.

6. Центр группы, централизатор элемента.

7. Коммутант группы..

8. Факторгруппа по нормальной подгруппе.

9. Факторгруппы по коммутанту и центру.

10. Гомоморфизмы групп, нормальность ядра, канонический гомоморфизм на факторгруппу.

11. Изоморфизмы групп, классификация циклических групп.

12. Теорема о гомоморфизме (первая теорема об изоморфизме).

13. Теорема о гомоморфизме (вторая теорема об изоморфизме).

14. Теорема о гомоморфизме (третья теорема об изоморфизме).

15. Группа автоморфизмов группы, подгруппа внутренних автоморфизмов.

16. Прямые произведения (суммы) групп. Факторизация по прямым слагаемым.

17. Критерий цикличности прямой суммы циклических групп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп,

18. Условия расщепляем ости короткой точной последовательности абелевых групп.

19. Периодическая часть абелевой группы.

20. Свободная абелева группа, ее ранг, равенство нулю ее периодической части.

21. Свойства свободной абелевой группы (универсальное, накрывающее, расщепляющее).

22. Подгруппы свободных и конечно порожденных абелевых групп.

23. Задание конечно порожденных абелевых групп образующими и соотношениями.

24. Целочисленные матрицы, приведение к каноническому диагональному виду.

25. Теорема о разложении конечно порожденных абелевых групп в прямую сумму циклических групп (свободных и конечных примарных циклических групп).

26. Примарные компоненты.

27. Единственность разложения конечной примарной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических групп.

28. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.

29. Действие групп на множествах, орбиты и стабилизаторы.

30. Разложение подстановки в произведение непересекающихся циклов.

31. Регулярное действие группы, теорема Кэли.

32. Действие группы сопряжениями, разбиение на классы сопряженных элементов.

33. Нетривиальность центра конечной p-группы.

34. Группа порядка р² абелева.

35. Первая теорема Силова.

36. Вторая теорема Силова.

37. Третья теорема Силова.

38. Разрешимые группы. Разрешимость примаркой конечной группы.

39. Разрешимость группы пордка pq.

40. Разрешимость группы треугольных матриц.

41. Классы сопряженных элементов групп подстановок, центр и коммутант группы S_n.

42. Простота группы A₅.

43. Идеалы и гомоморфизмы колец. Факторкольцо по идеалу. Теорема о гомоморфизме для колец.

44. Простота кольца матриц над полем.

45. Факторкольца колец многочленов. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена.

46. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.

47. Строение конечных полей.

48. Алгебра линейных преобразований, ее центр.

49. Алгебра кватернионов.

50. Конечномерные алгебры с делением.

51. Теорема Фробениуса.

52. Модули, подмодули, фактормодули, теорема о гомоморфизме для модулей.

53. Циклические и неприводимые модули. Лемма Щура.

54. Прямые суммы модулей.

55. Представления групп, матричные представления, модули над групповой алгеброй. Изоморфизм представлений.

56. Центр групповой алгебры, его размерность.

57. Теорема Машке, ее следствия.

58. Всякое неприводимое комплексное представление конечной группы содержится в регулярном.

59. Конечность множества неизоморфных неприводимых комплексных представлений конечной группы. Кратности вхождения неприводимых представлений.

60. Одномерность комплексных неприводимых представлений конечной абелевой группы, их число.

61. Одномерные комплексные представления конечных групп.

62. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений.

63. Совпадение числа неприводимых комплексных представлений с числом классов сопряженных элементов.

64. Характеры представлений, их свойства.

65. *Алгебры Ли, примеры.

66. *Экспоненциальное отображение.

67. *Линейная алгебра Ли, ее касательная алгебра Ли.

Примечание:

Вопросы под номерами 65, 66, и 67 для досрочного экзамена.