мояКурсовая (Поведение электрона под действием внешней вынуждающей силы)

Курсовая работа.

Задача №19.

Елецкий Александр 216гр.

1) Физическая модель.

В задаче необходимо построить фазовый портрет и график x(t) для уравнения, описывающего смещение x электронного облака в атоме под действием монохроматической световой волны. Получим это уравнение.

Используя второй закон Ньютона, уравнение движения осциллятора запишем в виде

(1)

Здесь m – масса электрона, e – заряд электрона, x – смещение центра электронного облака относительно атомного ядра (рис. 1), Е – амплитудное значение напряженности электрического поля световой волны, p – круговая частота волны, Fвозвр – возвращающая сила, обусловленная притяжением электрона к ядру и связанная с потенциальной энергией U(x) электрона в поле ядра соотношением

(2)

Рис. 1. Классическая модель атома

В окрестности положения равновесия электрона (x=0) потенциальную энергию U(x) можно представить в виде разложения по степеням x:

(3)

График зависимости потенциальной энергии от электронной координаты схематически показан на рис. 2. Первое слагаемое в (3) соответствует параболическому приближению (пунктир на рис. 2). Остальные слагаемые описывают отличие формы реальной потенциальной ямы от параболической. Учет этих слагаемых важен, если амплитуда колебаний электрона достаточна велика. Последнее может иметь место в поле световой волны большой интенсивности. Подставив (3) в (2), получим

Рис. 2. График потенциальной энергии нелинейного осциллятора (сплошная кривая) и линейное приближение (пунктир)

(4)

Таким образом, возвращающая сила оказывается нелинейной функцией смещения. Подставляя (4) в (1) и ограничиваясь учетом первой нелинейной поправки, получим уравнение

(5)

где - собственная частота колебаний осциллятора, - параметр нелинейности возвращающей силы. Добавим в левую часть уравнения (5) слагаемое , описывающее затухание электронных колебаний. В итоге получим уравнение

(6)

где - время затухания колебаний электрона. Итак, уравнение (6) описывает колебания атомного осциллятора под действием поля световой волны.

2) Математическая модель.

Чтобы перейти к математической модели, надо обезразмерить наше уравнение. Для этого поделим x на значение в особой точке, а t умножим на ω – размерность сократится. Чтобы найти особые точки, проведем линейный анализ устойчивости стационарных решений. Сначала разложим наше уравнение на систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и исключим косинус, т.к. линейный анализ выполняется только для автономных функций (где t в явном виде отсутствует)

Находим особые точки из условия

Особые точки:

Поделив на мы получим безразмерную координату . Подставив в исходное уравнение и и преобразовав его, получим

где x и t теперь безразмерны, - коэффициент затухания собственных колебаний, - амплитуда вынуждающей силы, а - соотношение частот вынуждающей и собственной. Теперь особые точки и функции и будут иметь вид:

Найдем коэффициенты для характеристического уравнения

а) особая точка (0;0)

характеристическое уравнение имеет вид:

Если подкоренное выражение меньше нуля ( ), то p примет вид :

< 0, значит эта особая точка является устойчивым фокусом.

Если же подкоренное выражение больше либо равно нулю ( , что практически невозможно, т.к. => из следует , т.е. время затухания на порядок меньше, чем 1 период колебаний), то

и < 0

значит при эта точка является устойчивым фокусом, а при - устойчивым узлом

б) особая точка (-1;0)

характеристическое уравнение имеет вид:

значит эта особая точка - неустойчивое седло.

3) Методы численных решений

В данной задаче используется два метода численных решений уравнения: метод Эйлера (1-й порядок точности) и метод Рунге-Кутта (4-й порядок точности). Эти методы заключаются в нахождении координат x и y в моменты времени, отстоящие друг от друга на dt (временной шаг), причем этот шаг меняется в зависимости от выбранной позволительной погрешности. Методы отличаются не сильно, а их результатами являются график x(t) и фазовый портрет y(x). Разница в результатах методов может изменяться в зависимости от выбранного начального шага и выбранной позволительной погрешности. Выбранная погрешность влияет на выбор следующего шага следующим образом: если шаг удовлетворяет условию

, где p – порядок точности метода,

то он остается неизменен, в противном случае шаг делится пополам и опять проверяется это условие.

Привожу здесь таблицы зависимости величины шага для обоих методов от величины задаваемой погрешности.

а) dt начальное = 1

б) dt начальное = 0,1

Разные значения dt для одного и того же метода, одинаковых , но разных начальных dt получаются из-за того, что при делении 1 и 0,1 (это верно для всех чисел a и b, ) на 2 никогда не получаться равные числа: для 1 – 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625…, а для 0,1 – 0,05; 0,025…

4) Численное исследование задачи.

а) типичные фазовые портреты для свободных и вынужденных колебаний.

П ервый типичный фазовый портрет – в окрестности точки (0,0), это устойчивый фокус при < 2 и устойчивый узел при . Рассмотрим первый случай, когда эта точка является фокусом.

y(0)=0

x(0)=0,01

начальный шаг =

погрешность =

Нетрудно видеть, что точка (0,0) является устойчивым фокусом.

Если же задать больше или равно двум, тогда эта точка будет устойчивым узлом:

Рис. 3 (0,0) – устойчивый фокус

y(0)=0

x(0)=0,01

начальный шаг =

погрешность =

Рис. 4 (0,0) – устойчивый узел

Следующая особая точка – (-1,0), она является неустойчивым седлом:

y(0)=0,05

x(0)=-1,05

начальный шаг =

погрешность =

Рис. 5 (-1,0) – неустойчивое седло.

Рассмотренные случаи относятся к свободным колебаниям, т.е. без вынуждающей силы. Для вынужденных колебаний характерным случаем является резонанс, когда совпадают собственная частота колебаний электрона и частота вынуждающей силы (т.е. =1, а остальные параметры те же, что и для прошлого случая):

Рис. 6 Резонанс

Как видно из рисунка 6, со временем колебания устанавливаются, это обусловлено тем, что через какое-то время собственные колебания электрона затухают, и он продолжает колебаться только за счет внешней силы.

Если же внешнюю силу сделать достаточно большой, то она может выбить электрон из орбиты, и он улетит:

y(0)=0

x(0)=0,1

начальный шаг =

погрешность =

р ис. 7 Выбивание электрона с орбиты вынуждающей силой.

б) Амплитудно-частотные характеристики для трех основных компонент частотного спектра функции x(t).

Эти графики являются зависимостью величины трех первых компонент разложения функции в ряд Фурье (стационарной, линейной и нелинейной поляризации) от частоты вынуждающей силы.

Все амплитудно-частотные характеристики для компонент частотного спектра даны при одинаковых параметрах:

x(0)=0

y(0)=0

рис. 8 АЧХ стационарной компоненты

рис. 9 АЧХ линейной компоненты

рис. 10 АЧХ нелинейной компоненты