Заряды (Поле системы электростатических зарядов)

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Физический факультет

Поле системы электрических зарядов

Курсовая работа по курсу “Компьютерные методы в физике”.

студента 214 гр. Нахаева А.Л.

преподаватель: доцент Шленов С.А.

Москва - 2003 год.

Постановка задачи.

Данная курсовая работа посвящена разработке компьютерной программы, изображающей на плоскости картину силовых линий системы неподвижных электрических зарядов. В программе предусмотрена возможность варьирования величины и знака зарядов, а так же качественного отображения величины поля через густоту проведенных силовых линий.

Метод решения.

В основе решения задачи лежит один из фундаментальных законов физики - закон Кулона, описывающий взаимодействие 2-х точечных зарядов:

, (1)

где F – сила взаимодействия двух зарядов, q₁ и q₂ – величины зарядов, ε₀ – электрическая постоянная, R – расстояние между зарядами. Напряженность электростатического поля – это сила, действующая на единичный пробный заряд, поэтому применительно к данной задаче, формула была преобразована к виду:

, (2)

здесь E – величина электростатического поля, . Или в векторном виде:

(3)

С учетом того, что R – расстояние до заряда выражается формулой:

, (4)

где x, y – координаты точки, в которой высчитывается напряженность, а x₀, y₀ – координаты заряда, то окончательные формулы будут иметь вид:

(5)

где E_x и E_y – проекции вектора электростатического поля. С учетом нескольких зарядов и свойства суперпозиции электростатического поля, формулы преобразуются к виду:

(6)

где N – число зарядов, а q_i, x_0i и y_0i – соответственно величина и координаты i- го заряда.

Для того, чтобы картина силовых линий не менялась при увеличении величины каждого заряда в одинаковое число раз, заряды перед расчетом обезразмеривались:

, (7)

где Q_i – заряды, вводимые пользователем, а q_i – заряды, используемые в расчетах.

Картина силовых линий может быть построена исходя из того, что вектор напряженности электростатического поля в любой точке пространства является касательным к силовой линии. Электростатическое поле – безвихревое, то есть силовые линии могут либо начинаться на зарядах, либо заканчиваться на зарядах (либо и начинаться и заканчиваться). Поэтому построение силовых линий начиналось от зарядов и велось вдоль вектора напряженности, если заряд положительный, или противоположно вектору напряженности, если заряд – отрицательный. В каждой точке, из которой надо построить силовую линию высчитывались по формулам (*) проекции вектора напряженности и с учетом знака заряда высчитывалась следующая точка – в направлении, определяемым выше указанным условием с некоторым шагом. Полученные таким образом точки, соединялись линиями. Шаг выбирался столь малым, чтобы полученная силовая линия была гладкой и не имела разрывов, изломов. В данной программе шаг настолько мал, что соседние вычисленные точки лежали в пределах одного экранного пикселя.

Точки, из которых начиналось построение силовых линий, брались симметрично относительно заряда, на некотором удалении от него и на равном угловом расстоянии относительно заряда. Число силовых линий выходящих из данного заряда, было пропорционально величине заряда. Это было сделано, для того, чтобы обеспечить качественное отображение зависимости величины электростатического поля от густоты силовых линий.

Реализация программы.

Программа написана в среде программирования Microsoft Visual C++ 6.0 © для Windows. Для ввода расположения зарядов были предусмотрены две возможности. Первая – это указание точки расположения щелчком мыши на экране. После этого появляется диалоговое окно с полем для ввода величины заряда. Вторая – это ввод с клавиатуры координат заряда и его величины в диалоговом окне. Для удобства использования в программе есть возможность щелчком по одной клавише очищать рабочее поле (клавиша «Очистить»).

Рис. 1. Внешний вид программы.

Введенные заряды отображаются на экране. Положительные заряды отображаются красным цветом, отрицательные – синим.

Картина силовых линий обновляется автоматически после ввода параметров каждого нового заряда или после удаления (восстановления) какого либо заряда.

Результат работы программы.

В результате работы программы были получены следующие картины силовых линий.

Рис. 2. Картина силовых линий одного заряда.

На рисунке 2 показана картина силовых линий одного заряда. Силовые линии – прямые. Напряженность электростатического поля в любой точке направлена от заряда.

Рис. 3. Картина силовых линий двух одинаковых зарядов.

На рисунке 3. показана картина силовых линий двух одинаковых зарядов. Силовые линии каждого заряда изгибаются под действием соседнего заряда.

Рис. 4. Картина силовых линий двух равных по величине разноименных зарядов.

Рис. 5. Заряд справа в 5 раз больше заряда слева.

На рисунке 5 показана картина силовых линий для случая, когда один из зарядов в несколько раз больше другого. Силовые линии меньшего заряда более редкие и изгибаются в сторону от большего заряда. Меньший заряд является препятствием для силовых линий большего заряда.

Рис. 6. Разноименные заряды. Заряд

справа в 5 раз больше по величине заряда слева.

.

Рис. 7. Поле диполя.

На рисунке 7 показано поле 2-х близко лежащих зарядов, равных по модулю, но противоположных по знаку. Такая пара зарядов называется электрическим диполем. Вблизи диполя густота силовых линий очень высокая (напряженность велика). При удалении от диполя, когда расстояние между зарядами значительно меньше расстояния от диполя, поле спадает как , где R – расстояние от диполя.

Рис. 8. Поле внутри и снаружи ионного кристалла. (NaCl)

На рисунке 8 изображено поле модели ионного кристалла. Эта модель образована расположенными в шахматном порядке положительно заряженными ионами натрия и отрицательно заряженными ионами хлора. В нашей модели ионы заменены точечными зарядами, так как они достаточно хорошо воспроизводят поле реального кристалла. Расстояние между соседними ионами порядка размера иона. Каждый заряженный ион в кристалле находится в условиях устойчивого равновесия. Верхняя часть рисунка соответствует сильному полю внутри кристалла (высокая густота силовых линий). В нижней части рисунка, соответствующему полю вне кристалла, поле очень слабое (небольшая густота силовых линий). При дальнейшем отдалении от кристалла напряжённость поля стремится к нулю (внизу на рис. 8).

Рис. 9. Поле заряженной плоскости.

На рисунке 9 показано поле заряженной плоскости, имитируемой 400 зарядами, расположенными на одной прямой. Поле однородно. Силовые линии – прямые, перпендикулярны плоскости и расположены на равном расстоянии между собой.

Рис. 10. Поле заряженной сферы.

360 зарядов, расположенных по окружности, эмитируют заряженную сферу. Рисунок 10 показывает картину силовых линий в этом случае. Линии пересекаются в центре сферы. Внутри сферы поле равно нулю в любой точке. Вне сферы, картина аналогична той, какая была бы в случае точечного заряда, расположенного в центре сферы.

Заключение.

Данная компьютерная программа, позволяет строить картину силовых линий произвольной системы зарядов. Приведены картины для наиболее интересных случаев расположения зарядов, представляющие практический интерес для образовательной деятельности (в качестве наглядных пособий по курсу “Электричество”).

Литература.

1. С.Г. Калашников. Электричество. М.: Наука, 1977.

2. А.Н. Матвеев. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1970.