Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу

Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу. I семестр.

1. Выделение полного квадрата. Формула корней квадратного уравнения. Бином Ньютона, неравенство Бернулли.

2. Вещественные числа и правила их сравнения. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.

3. Приближение вещественных чисел рациональными. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.

4. Счетные множества и множества мощности континуум. Неэквивалентность множества мощности континуум счетному множеству.

5. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Их основные свойства.

6. Понятие сходящейся последовательности. Основные теоремы о сходящихся последовательностях (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические операции над сходящимися последовательностями).

7. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е.

8. Понятие предельной точки последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

9. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши).

10. Два определения предельного значения функции (по Гейне и по Коши) и доказательство их эквивалентности. Критерий Коши существования предельного значения функции.

11. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Предельный переход в неравенствах. Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и принципы их сравнения.

12. Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Арифметические операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва.

13. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

14. Монотонные функции. Теорема об обратной функции.

15. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства степеней с рациональными показателями.

16. Свойства показательной функции и ее график.

17. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию.

18. Свойства логарифмической функции и ее график.

19. Определение и свойства тригонометрических функций, их графики.

20. Определение и свойства обратных тригонометрических функций, их графики.

СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛИРОВОК ТЕОРЕМ К КОЛЛОКВИУМУ.

1. Определение ограниченного (сверху, снизу) числового множества.

2. Определение точной верхней грани числового множества .

3. Определение точной нижней грани числового множества .

4. Определение - число не является точной верхней гранью множества .

5. Определение - число не является точной нижней гранью множества .

6. Определение предела числовой последовательности.

7. Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.

8. Определение бесконечно малой (не бесконечно малой) числовой последовательности.

9. Определение бесконечно большой (не бесконечно большой) числовой последовательности.

10. Определение монотонной последовательности.

11. Сформулировать теорему о монотонной и ограниченной последовательности.

12. Сформулировать теорему Больцано-Вейрштрасса.

13. Определение фундаментальной последовательности.

14. Критерий Коши сходимости последовательности.

15. Отрицание критерия Коши сходимости последовательности.

16. Определение функции на числовом множестве.

17. Определение ограниченной (не ограниченной) функции на множестве .

18. Определение точной верхней грани функции на множестве .

19. Определение точной нижней грани функции на множестве .

20. Определение монотонной функции.

21. Определение предела функции по Коши.

22. Определение предела функции по Гейне.

23. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

24. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

25. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

26. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

27. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

28. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

29. Критерий Коши существования предельного значения функции в точке .

30. Критерий Коши существования предельного значения функции в точке справа.

31. Критерий Коши существования предельного значения функции в точке слева.

32. Дать определение: .

33. Дать определение: .

34. Дать определение: .

35. Дать определение: .

36. Дать определение: ─0.

37. Дать определение: +0.

38. Дать определение по Гейне: существует .

39. Дать определение по Гейне: не существует .

40. Дать определение по Коши: существует .

41. Дать определение по Коши: не существует .

42. Дать определение по Гейне: существует .

43. Дать определение по Гейне: не существует .

44. Дать определение по Коши: существует .

45. Дать определение по Коши: не существует .

46. Дать определение по Гейне: существует .

47. Дать определение по Гейне: не существует .

48. Дать определение по Коши: существует .

49. Дать определение по Коши: не существует .

50. Дать определение по Гейне: существует .

51. Дать определение по Гейне: не существует .

52. Дать определение по Коши: существует .

53. Дать определение по Коши: не существует .

54. Дать определение по Гейне: существует .

55. Дать определение по Гейне: не существует .

56. Дать определение по Коши: существует .

57. Дать определение по Коши: не существует .

58. Дать определение по Гейне: существует .

59. Дать определение по Гейне: не существует .

60. Дать определение по Коши: существует .

61. Дать определение по Коши: не существует .

62. Дать определение по Гейне: существует .

63. Дать определение по Гейне: не существует .

64. Дать определение по Коши: существует .

65. Дать определение по Коши: не существует .

66. Дать определение по Гейне: существует .

67. Дать определение по Гейне: не существует .

68. Дать определение по Коши: существует .

69. Дать определение по Коши: не существует .

70. Дать определение по Гейне: существует .

71. Дать определение по Гейне: не существует .

72. Дать определение по Коши: существует .

73. Дать определение по Коши: не существует .

74. Дать определение по Гейне: существует .

75. Дать определение по Гейне: не существует .

76. Дать определение по Коши: существует .

77. Дать определение по Коши: не существует .

78. Определение функции, непрерывной в точке .

79. Определение функции, равномерно непрерывной множестве .

80. Определение функции, непрерывной в точке справа.

81. Определение функции, непрерывной в точке слева.

82. Определение точки устранимого разрыва функции.

83. Определение точки разрыва функции I рода.

84. Определение точки разрыва функции II рода.

85. Сформулировать теорему о непрерывности сложной функции.

86. Сформулировать первую теорему Вейерштрасса.

87. Сформулировать вторую теорему Вейерштрасса.

88. Сформулировать теорему о прохождении непрерывной функции через ноль при смене знаков.

89. Сформулировать теорему о сохранении знака непрерывной функции.

90. Сформулировать теорему о точках разрыва монотонной функции.

91. Сформулировать критерий непрерывности монотонной функции.

92. Определение обратной функции.