Метод средних прямоугольников и метод трапеций (Программы 3)

Метод прямоугольников.

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.

Метод средних прямоугольников. Здесь на каждом интервале значение функции считается в точке , то есть .

Метод трапеций.

Аппроксимация в этом методе осуществляется полиномом первой степени.

На единичном интервале

Погрешность метода трапеций в два раза выше, чем у метода средних прямоугольников!

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 1); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.

В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.