Кручение тонкостенных закрытых профилей. Вывод формул для определения напряжений и перемещений.

Особенности распределения касательных напряжений при

кручении однозамкнутого тонкостенного контура.

Под однозамкнутым контуром будем понимать следующие конфигурации поперечных сечений, приведенных на рис. 7.9

Рис. 7.9

Отметим допущения, принимаемые за основу при выводе расчетных формул:

1. Касательные напряжения по толщине стенки контура распределены равномерно (рис. 7.10)



Рис. 7.10

2. Вектор касательного напряжения параллелен касательной, проведенной в искомой точке к срединной линии контура.

3. Выполняется гипотеза плоских сечений.

4. Полагаем, что поперечное сечение контура не меняет своей конфигурации при нагружении крутящим моментом.

Рассмотрим произвольный однозамкнутый контур, на который воздействует крутящий момент - М_кр.

M

dx

M

₂

₁ ₁ ₂

dx

L

Рис. 7.11

Выделим из контура элемент длиной dx. В соответствии с законом парности касательных напряжений в продольных слоях элемента будут также действовать касательные напряжения.

Запишем для выделенного элемента уравнение равновесия в проекции на ось Х:

₁ ₁ dx - ₂ ₂ dx = 0

или

₁₁ = ₂₂

Отсюда делаем вывод - для однозамкнутого контура произведение касательного напряжения на толщину стенки контура в искомой точке есть величина постоянная:

 = const

В расчетной практике произведение  на  называется потоком касательных сил и обозначается - q = . Величина q является важнейшей характеристикой при исследовании тонкостенных конструкций.

7.8 Определение касательных напряжений в однозамкнутом

тонкостенном контуре при кручении. (Формула Бредта).

Рассмотрим однозамкнутый тонкостенный контур, нагруженный крутящим моментом - М_кр.

dP

O

L

Рис. 7.12

Требуется установить аналитическую взаимосвязь между М_кр и  .

Выделим элемент контура длиной ds - АВ в плоскости торцевого сечения, на который действует усилие - dP =   ds.

Зафиксируем на плоскости торцевого сечения произвольно расположенную точку О, относительно которой запишем момент силы dP

dM = dP h =   h ds. = q h ds

Заметим, что величина h ds характеризует удвоенную площадь треугольника ОАВ. Суммируя элементарные моменты dM, находим результирующую величину М, т.е.

М = dM = q hds

C учетом выше сказанного криволинейный интеграл равен

2F* = hds

где F* - площадь, охватываемая однозамкнутым контуром.

В итоге можем записать

q =

или учитывая соотношение - q =  , получаем

 =

Приведенные формулы имеют широкое применение в расчетной практике.

7.9 Определение угла закручивания стержня

однозамкнутого контура при кручении.

Воспользуемся энергетическим подходом для определения угла закручивания стержня. Будем полагать, что имеет место упругая деформация и выполняется условие

A = U

т.е. работа внешних сил равна работе внутренних сил без потерь.

Однозамкнутый контур нагружается крутящим моментом

dx

x М_кр

М_кр 

dx

dx ds

L

Рис. 7.13

Выделим элемент стержня длиной dx и элемент контура со сторонами dx и ds. Для удобства последующего анализа одну грань условно зафиксируем.

Работа, совершаемая внешней нагрузкой - М_кр на элементе стержня длинной dx будет

dA = M_крd

При воздействии крутящего момента - М_кр в однозамкнутом контуре возникают касательные напряжения

 =

При чистом сдвиге выражение для удельной потенциальной энергии имеет вид

U_o =

Заметим, что при кручении реализуется состояние чистого сдвига. В выделенном элементе накапливается энергия

dU* = U_o dV, где dV = ds dx .

Подставляем в приведенное выражение выше полученные соотношения

dU* = [ ]² ds dx 

Подсчитаем энергию, накапливаемую в стержне, длиной dx, т.е. интегрируем по контуру

dU* = dU* = [ ]²

Реализуя равенство

dA = dU*

находим

d = , где J_кр =

Чтобы найти угол закручивания стержня однозамкнутого контура в общем случае, необходимо проинтегрировать деформации по участкам

 =