Энергия и импульс электромагнитного поля

1.2 Энергия и импульс электромагнитного поля

Плотность энергии электромагнитного поля.

Электромагнитные волны переносят энергию из одной точки пространства в другую за конечное время из-за конечности скорости распространения электромагнитной волны, равной , как мы убедились выше, скорости света в той среде, где она распространяется.

Энергия электромагнитной волны внутри некоторого объёма определяется плотностью энергии электромагнитного поля волны в соответствии с выражением¹:

.

(1.22)

Оказывается плотность энергии электромагнитной волны находится в связи с плотностью потока энергии, импульса, связанных с феноменом давления электромагнитных волн.

Рассмотрим определение плотности энергии электромагнитной волны.

Пусть среда, в которой распространяется электромагнитная волна, не является ферромагнетиком или сегнетоэлектриком, неподвижна и не обладает проводимостью ( ) . В этом случае можно считать равными нулю токи проводимости, поскольку в соответствии с законом Ома эти токи пропорциональны проводимости: . Вследствие этого нет расхода части энергии электромагнитной волны на увеличение внутренней энергии среды распространения волны из-за выделения Джоулева тепла.

В частном случае однородных сред распространения в соответствии с материальными уравнениями (1.1a) и объёмная плотность энергии электромагнитной волны может быть рассчитана по формуле²

.

(1.23a)

Или в другом виде

.

(1.23b)

Исходя из этих выражений, получим для объёмной плотности энергии плоской гармонической волны:

,

(1.24a)

где:1 ) - объёмная плотность энергии электрического поля, равная

;

(1.24b)

2) - объёмная плотность энергии магнитного поля , равная

.

(1.24c)

Используя соотношения между амплитудами и фазами векторов напряжённости электрического и магнитного полей плоской гармонической электромагнитной волны, получаем, что

(1.25a)

В этом случае

(1.25b)

Отсюда следует вывод, что энергия электромагнитной волны делится поровну между её электрической и магнитной составляющими .

Поскольку скорость распространения электромагнитной волны, из (1.25b) следует, что произведение плотности её энергии на скорость

(1.26a)

определяет физическую величину, называемую плотностью потока энергии , переносимой плоской электромагнитной волной.

Действительно, по определению плотности потока энергии за единицу времени перпендикулярно единичной площадке проходит энергия, сосредоточенная в объёме параллелепипеда с основанием единичной площади и высотой , равная в полном соответствии с (1.26a).

С другой стороны, если известна плотность потока энергии электромагнитной волны, то из (1.26a) можно найти плотность энергии

.

(1.26b)

Плотность потока энергии на самом деле электромагнитной волны, является векторной величиной, величина которой определяется (1.30a), а направление - направлением распространения волны. В этом можно убедиться из следующего более подробного изучения свойств физической величины, представляющей собой плотность потока энергии, и вывода её векторного выражения.

Вектор плотности потока электромагнитной энергии. Теорема Умова-Пойнтинга.

Для этой цели вначале рассмотрим закон сохранения энергии при распространении электромагнитных волн. Преобразуем систему уравнений Максвелла (1.1b) для чего первое уравнение умножим на , а второе на и после этого вычтем из первого преобразованного уравнения второе. В результате получим:

Заметим, что

в соответствии с (1.25) определяет скорость изменения плотности энергии электромагнитной волны .

Если использовать векторное тождество

,

(1.27)

и ввести вектор

(1.28)

называемый вектором Пойнтинга, получаем уравнение, представляющее собой не что иное как баланс энергии, переносимой электромагнитной волной

(1.29a)

Рассмотрим физический смысл вектора Пойнтинга, исходя из аналогии (1.29a) уравнению непрерывности тока

,

(1.29b)

в котором - плотность электрического заряда, а - плотность тока.

Формальная аналогия уравнений (1.29a) и (2.29b) приводит к представлению, что энергия течет подобно жидкости, электрическому току, причем вектор Пойнтинга играет роль вектора плотности потока энергии. Иными словами, модуль вектора равен энергии, переносимой электромагнитным полем за единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению распространения поля, указываемому направлением вектора .

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим интегральную форму (1.29a). После интегрирования этого соотношения по объёму и применения теоремы Остроградского-Гаусса получается теорема Умова - Пойнтинга:

(1.29c)

где - произвольный объём среды распространения электромагнитных волн, ограниченный некоторой поверхностью ; - внешняя нормаль к поверхности (рис.1.12) ; - плотность энергии электромагнитного поля; - проекция вектора Пойнтинга на направление нормали к поверхности .

Рис. 1.12.

Соотношение (1.29c) является одной из форм закона сохранения энергии , связанной с переносом излучения и называется теоремой Умова- Пойнтинга. Правая часть этого выражения представляет собой скорость изменения энергии в объёме распространения электромагнитного поля, а левая часть этого выражения оценивает поток энергии через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объём. Иными словами, изменение энергии внутри объёма происходит за счет притока/ оттока электромагнитной энергии через поверхность , ограничивающей объём.

Выведенная теорема остаётся справедливой и при учете свойств теплопроводности, а также упругости среды, но к плотности потока электромагнитной энергии следует добавить дополнительные слагаемые, ответственные за плотность потока тепловой и упругой энергии.

Общее представление о потоке энергии в пространстве было введено в физику Н. А. Умовым в 1874г.. Пойнтинг получил формулу для расчета потока электромагнитной энергии на одиннадцать лет позднее Н. А. Умова, не рассматривавшего расчёты потока энергии электромагнитного поля.

Из соотношения (1.29a) следует, что уравнение энергетического баланса, используемое для определения вектора Пойнтинга по формуле (1.28), будет выполнено, если к вектору Пойнтинга прибавить ротор произвольного вектора ( ). Отсюда следует неоднозначность определения вектора Пойнтинга из уравнения (1.29). Однако, в круге рассматриваемых физических задач в настоящем учебном пособии это обстоятельство не приводит к каким-либо недоразумениям.

Среднее значение плотности энергии и плотности потока энергии плоской гармонической электромагнитной волны.

Обратим внимание также на то, что плотность энергии представляет собой функцию, зависящую как от времени, так и от точек пространства и называемую мгновенным значением плотности энергии :

.

(1.30a)

Помимо мгновенного значения можно определить также и максимальное значение плотности энергии :

(1.30b)

Из соотношения (1.30a) следует, что мгновенная плотность энергии плоской электромагнитной волны представляет собой пульсирующую во времени и в пространстве величину около среднего значения.

По этой причине рассмотрим определение среднего значения плотности энергии плоской электромагнитной волны.

Среднее значение плотности энергии электромагнитной волны может быть найдено в соответствии со следующей формулой:

,

(1.31a)

где - время измерения .

В результате расчета по формуле (1.31a) среднего значения плотности энергии электромагнитной волны в общем случае произвольного электромагнитного поля среднее значение может оказаться функцией координат. Обычно это проявляется при взаимодействии электромагнитных волн со средой их распространения, неоднородностями, границами разделов сред с различными параметрами и пр., например, в результате их интерференции, дифракции, отражения и других явлений которые будут изучаться далее в этом пособии в главах 3-7.

Перейдём к расчету среднего значения плотности энергии плоской гармонической электромагнитной волны с частотой и амплитудой по формуле (1.31a). Подставляя формулы (1.9), (1.25b) в (1.31a), получаем:

(1.32)

Из этой формулы следует, что на практике для нахождения достаточно взять время измерения