Методические указания по выполнению работы №1 и №2, страница 2

Проверка гипотезы по критерию Пирсона о соответствии экспериментального распределения случайной величины нормальному распределению

Для проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому наиболее часто применяют критерий Пирсона, называемый также критерием ² («хи – квадрат»). Пусть генеральная совокупность имеет функции распределения F(x). Из этой совокупности извлечена выборка объемом n (n50). Разобьем весь диапазон полученных результатов на k частичных интервалов равной длины, и пусть в каждом интервале оказалось m_i измерений (частот), причем:

(1)

Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу о том, что гипотетическая функция распределения F(x) значимо представляет данную выборку.

При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются следующей последовательности:

1) вычисляют вероятности попадания случайной величины X в частичные интервалы [x_i-1,x_i]:

(2)

где i=1…k.

В случае рассмотрения нормального закона распределения:

(3)

где m₀ и  – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение рассматриваемой случайной величины, соответственно. Вычисление значений функции распределения можно проводить, пользуясь нормированной функцией Лапласа:

(4)

где нормированная переменная z равна:

(5)

Значения функции Лапласа представлены в табл. 1.

2) Умножая полученные вероятности на объем выборки n, получают теоретические частоты np_i частичных интервалов, т.е. частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива.

3) Вычисляют выборочную статистику (критерий ²):

(6)

Если нулевая гипотеза верна, то при n закон распределения выборочной статистики независимо от вида функции F(x) стремится к распределению ² c  = k – f – 1 степенями свободы. Здесь f – число параметров гипотетической функции F(x), оцениваемых по данным выборки (для нормального распределения f=2).

Критерий ² сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия ², тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Для проверки гипотезы по таблицам ² распределения по заданному уровню значимости q и числу степеней свободы  находится критическое значение ²_кр, удовлетворяющее условию P(²²_кр) = q.

Если ²_набл < ²_кр, то считается, что нет оснований для отклонений нулевой гипотезы, таким образом гипотетическая функция F(x) согласуется с опытными данными.

EXCEL: Вероятности попадания в частичные интервалы p_i рассчитываются как разности p_i= F_i+1–F_i где F_i – нормальное интегральное распределение, для нахождения которого можно воспользоваться функцией НОРМСТРАСП(…). Значения этого распределения находятся в зависимости от нормированных значений границ частичных интервалов z_i =(x_i-m₀)/σ , где m₀ , σ – матожидание и среднее квадратическое отклонение теоретического распределения, в качестве которых берутся среднее значение и выборочное среднее квадратическое отклонение экспериментальной выборки (объемом n). Пример вычисления слагаемых критерия χ² (последний столбец): χ_i =(L45-P45)^2/P4.

Сравнить полученное значение критерия с критическим значением критерия χ²_кр, для нахождения которого можно воспользоваться функцией ХИ2ОБР( …;…).

Проверка гипотезы о равенстве среднего случайной величины значению m₀

Пусть задана некоторая случайная величина, имеющая гауссовский закон распределения, дисперсия которой неизвестна. Для проверки гипотезы о равенстве генерального среднего значения случайной величины гипотетическому значению m₀ используется критерий Стьюдента (t – распределение).

Пусть имеется экспериментальная выборка объемом n со средним арифметическим и выборочным средним квадртическим отклонением s_x. Статистика для проверки гипотезы, подчиняющаяся t – распределению с  = n–1 степенями свободы, вычисляется по формуле:

(7)

Нулевая гипотеза формулируется в виде – H₀: m_x = m₀. Если критерий является двусторонним, и альтернативная гипотеза сформулирована как – H₁: m_x  m₀, тогда проверяемая гипотеза Н₀ принимается при уровне значимости q, если выполняется неравенство .

Если есть основания сформулировать альтернативную гипотезу в виде H₁: m_x < m₀ , то проверяемая гипотеза принимается при выполнении условия .

Если есть основания сформулировать альтернативную гипотезу в виде H₁: m_x > m₀, то гипотеза принимается при выполнении условия .

EXCEL: Для выборки (n = 15) рассчитать выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение s_x. пользуясь функциями СРЗНАЧ и СТАНДОТКЛОН, соответственно, и определить статистику t по формуле (7). Задать уровень значимости и определить значения распределений Стьюдента, пользуясь функцией СТЬЮДРАСПОБР и проверить выполнимость 3-х приведенных выше критериев.

Проверка гипотезы о равенстве выборочных дисперсий.

Для гауссовского закона распределения случайной величины гипотеза о равенстве выборочных дисперсий формулируется следующим образом: H₀: _x1²=_x2² ; H₁: _x1²_x2² . В этом случае в качестве критерия значимости используется параметр, равный отношению двух независимых оценок дисперсий генеральной совокупности s₁² и s₂², имеющих соответственно степени свободы ₁=n₁ –1, ₂=n₂ –1, причем первой считается большая оценка: s₁² > s₂²:

(8)

Если полученное значение критерия Фишера меньше табличного значения F – распределения при заданном уровне значимости F<F_{1,2,q/2} , то гипотезу следует принять.

EXCEL: Для двух выборок объемами (n₁=n₂= 9) рассчитать, пользуясь функцией ДИСП, средние квадратические отклонения s₁² и s₂², и определить статистику F по формуле (8). Задать уровень значимости, определить значение F_{1,2,q/2}, пользуясь функцией FРАСПОБР( ), и проверить выполнимость гипотезы.