Методические указания по выполнению работы №1 и №2

Методические указания по выполнению работы № 1

Построение вариационного ряда и диаграммы накопленных частот.

Предположим, что производится исследование случайной величины X. Пусть имеется выборка экспериментальных данных x_i, i=1, 2, ... n, где n – объем выборки. Вариационный ряд получают из исходных данных путем их расположения в порядке возрастания от x_min до x_max так, чтобы x_min = x₁ x₂… x_n = x_max.

Диаграмму накопленных частот F_n(х), являющуюся эмпирическим аналогом интегрального закона распределения F(х), строят в соответствии с формулой:

F_n(х)= _j(х)/n , (1)

где _j(х) – число элементов в выборке, для которых значение х_j <х. Для практического построения диаграммы на оси абсцисс указывают значения наблюдений x_j . Значение по оси ординат равно нулю левее точки x_min; в точке x_min и далее во всех других точках x_j диаграмма имеет скачок, равный /n, где  — число совпадающих точек. Ясно, что для величин x > x_max значение диаграммы накопленных частот равно 1, а если n, то F_n(х)F(х).

EXCEL: Ввести столбец значений измеренной случайной величины (например, сопротивления резисторов R). Скопировать столбец данных и отсортировать их в порядке возрастания, получив вариационный ряд x_i . Для этого воспользоваться кнопкой «сортировка по возрастанию», расположенной на стандартной панели инструментов.

Ввести столбец номеров i , при вводе рекомендуется пользоваться командой «прогрессия» (пункт меню Правка и Заполнить) или перетаскивать маркер заполнения выделенного диапазона ячейки. Провести нормировку делением на объем выборки n (в данном примере n = 100), получив значения накопленных частот F_n(х_i). Для нормировки можно использовать формулу типа «=D3/100» для вычисления первого значения, где в данном примере D3 – относительная ссылка на ячейку содержащую значение i=1; последующие значения вычисляются протаскиванием маркера заполнения в примыкающие ячейки искомого столбца.

Построить диаграмму накопленных частот, используя мастер диаграмм (тип диаграммы – «точечная»). При этом по горизонтальной оси располагаются значения вариационного ряда х_i, по вертикальной – рассчитанные значения накопленных частот F_n(х_i).

Построение гистограммы.

Гистограмма f_n(х) является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(х). Для ее построения находят предварительное количество квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось х. Это количество k определяют с помощью оценочной формулы и округляют до ближайшего целого числа:

k=1+3,2 lg(n) (2)

Далее определяют длину интервала x:

x=(x_max–x_min)/k (3)

и границы интервалов x_i

x_i=x_min+Δx(i–1) , (i=1…k+1) (4)

Подсчитывают частоты m_i, (i=1…k), равные числам попаданий величины x в соответствующие интервалы [x_i, x_i+1). Значения x, попавшие на границу между i-м и (i+1)-м интервалами, относят к i-му интервалу. Значение x_max относят к последнему интервалу. Очевидно, что сумма всех частот равна общему объему выборки:

(4)

Строят гистограмму, представляющую собой ступенчатую ломаную, значения которой на i-м интервале [x_i, x_i+1] (i=1…k) постоянны и равны m_i.

EXCEL: Рассчитать число интервалов: 1+3,2*LOG10(100), округлить результат до ближайшего целого. Рассчитать длину интервала x, используя формулу типа :=(C102-C3)/7 , (в данном примере x = 1,3857). Рассчитать границы интервалов x_i и частоты m_i. Пример формулы расчета границ интервалов: =$C$3+(G10-1)*$G$4, где G10 есть относительная ссылка на ячейку, содержащую номер i=1, а $C$3 , $G$4 есть абсолютные ссылки на ячейки содержащие значения x_min. и x, соответственно. При подсчете числа попаданий m_i можно воспользоваться функцией СЧЕТ.

Для получения требуемого «ступенчатого» вида гистограммы, рекомендуется в полученный выше массив данный ввести дополнительные точки, как показано ниже.

Расчет интервальных оценок.

Пусть имеется генеральная совокупность с гауссовским распределением, причем математическое ожидание m_x и дисперсия ² неизвестны. Доверительный интервал, построенный для m_x при неизвестной дисперсии ², определяется выражением:

(7)

а доверительный интервал для ² при неизвестном m_x рассчитывается, соответственно, по формуле:

(8)

Доверительная вероятность равна p=1 – q, где q – уровень значимости. В зависимости от уровня значимости q и числа степеней свободы  по таблицам выбираются значения t– и ²– распределений. Таким образом, доверительный интервал, рассчитанный по выборочным параметрам, устанавливает границы, в пределах которых с доверительной вероятностью p находится оцениваемый параметр генеральной совокупности.

EXCEL: По выборке объемом = 15 рассчитать выборочные среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, пользуясь функциями СРЗНАЧ, ДИСП и СТАНДОТКЛОН, соответственно. Задать уровень значимости и определить значения распределений Стьюдента и Хи-квадрат, пользуясь функциями СТЬЮДРАСПОБР и ХИ2ОБР

Методические указания по выполнению работы № 2