ТСМ-№5 (Лекции ТСМ)

Лекция №5

Формирование функции пригодности (продолжение)

3. Бескоалиционное взаимодействие между подсистемами. Поиск равновесия по Нэшу.

Рассмотрим теоретико-игровую модель бескоалиционного взаимодействия между управляющими подсистемами в виде:

, (1)

где - множество подсистем («игроков»);

- показатель эффективности i-ой подсистемы, определенный на декартовом произведении ;

набор объединяет допустимые управления (управляющие параметры) подсистем (игроков) ;

- множество допустимых значений вектора .

Требуется определить допустимое решение , обеспечивающее оптимальные значения векторному показателю эффективности в условиях бескоалиционного взаимодействия между подсистемами .

При решении задачи (1) будем использовать принцип равновесия по Нэшу.

Определение. Набор допустимых уравнений называется равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре (1), если для любых и

, (2)

где

Алгоритм для формирования функции пригодности для ГА поиска равновесия по Нэшу

Шаг 1. Пусть - множество ТТО. Декодируем популяцию ТТО

,

с помощью бинарного кода Грея, где k – номер поколения.

Шаг 2. Фиксируем . Вычисление .

Шаг 3. Для каждого , вычисляем значения всех показателей эффективности в соответствующих точках:

В результате для каждого показателя эффективности , в точке имеем таблицу значений размером

, (3)

,

где - i-ый компонент s-ого элемента множества U(t).

Если точка является равновесием по Нэшу задачи (1), то для таблицы будет выполняться система неравенств:

, (4).

Если же хотя бы для одного в таблице существует подмножество

для элементов которого выполняется система неравенств:

, (5)

то не является равновесием по Нэшу в задаче (1).

Шаг 4. Каждому , поставим в соответствие функцию пригодности вида:

, (6)

где - количество точек , для которых выполняется система неравенств (5).

Таким образом векторному показателю соответствует векторная функция пригодности , обладающая следующим свойством:

1*)Если - равновесие по Нэшу, то

, (7)

2*) Если не является равновесием по Нэшу, то :

, (8)

Чем ближе к точке в пространстве функции пригодности , тем дальше расположена от , то есть тем является менее равновесной.

Шаг 5. Поставим в соответствие векторной функции скалярную функцию пригодности

, (9)

где - множество, для элементов которого выполняется условие (система неравенств):

, (10)

1) - точка, ближе всех расположенная к равновесию по Нэшу.

2) - точка, дальше всех расположенная к равновесию по Нэшу.

Функция далее используется для популяции «родителей». Для определения вероятности выбора ТТО в родителе строим интервал на основе рекуррентных соображений:

, (11)

Пример.

Таблица 1

Таблица 1.1

Таблица 1.2

Построим векторную функцию пригодности :

; Таблица 2.1

;

; Таблица 2.2

;

Вычислим :

; Таблица 3.1

;

; Таблица 3.2

;

Вычислим :

; Таблица 4.1

;

; Таблица 4.2

;

Вычислим :

Построим в пространстве f точки:, , ,

Для генерации массива родителей построим скалярную функцию пригодности

Для определения вероятности выбора ТТО в родители строим интервал :