Лекции в электронном виде (Бунич Александр Львович)

УСТОЙЧИВОСТЬ.

Система устойчива, если ограниченное воздействие приводит к ограниченной реакции системы.

Операторный полином

Шаг квантования 1:

- оператор Набла (сдвига)

0 – предел слева (система выключена). Она д.б. неограниченна слева.

Пример:

Для непрерывных: Полином устойчивый если все его корни в левой полуплоскости.

В устойчивых системах переходный процесс затухает.

W(p) =Y(p)/U(p) – передаточная функция системы

- весовая функция

- не устойчивый, т.к. p=1 вне левой полуплоскости

- можно сократить, но пренебрегая переходным процессом.

Запрещается сокращать неустойчивые многочлены.

Для дискретных: Если на границе или внутри единичного круга – не устойчивая.

Пример.

a(z)=z-1/2 x0=1

x0=x1/2 x1=2

x1=x2/2 x2=4

Пример:

Не уст.

В пространстве состояний для системы с непрерывным временем: все СЗ матрицы А должны лежать в левой полуплоскости (или отрицательная вещественная часть), тогда устойчивая.

x(t) – скаляр, u(t) – вход, y(t) – выход

- в “c” все нули, кроме тех, что соответствуют “х” (там единицы)

- реализация системы в пространстве состояний

Пример:

- неустойчивая

УПРАВЛЯЕМОСТЬ

Если за конечное время систему можно перевести из начального состояние в конечное ограниченное состояние, то система управляема.

Критерий Калмана (Качмажа??): если матрица управляемости не вырождена ( ), то система управляема и наоборот.

- матрица управляемости

Пример:

A – диагональная

b – столбец не нулевых эл-тов

(A=I) => (b,b,b…)=y – неуправляемая.

Пример:

- неуправляемая

Геометрическая интерпретация неуправляемости:

СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ.

Пространство состояний:

- для управляемых систем дробь несократима.

Если возможно построить такую обратную связь (ОС): u=ky, что замкнутая система устойчива, то объект стабилизируем и матрица (A,b) – стабилизируемая и наоборот.

Если есть общие множители, то не стабилизируемая.

Управляемая => стабилизируемая всегда, но не наоборот.

Док-во:

- собственные значения (СЗ) – сами выбираем из, например в левой полуплоскости => можно построить матрицу замкнутой системы с ОС A+kbc^T, где

Стабилизируемая, но не управляемая:

x₁ – управляемая часть

x₂ – неуправляемая

Если A₂₂ – устойчива, то замкнутая система стабилизируется (A₁₁ – устойчива), то:

НАБЛЮДАЕМОСТЬ.

По выходу нужно точно восстановить состояние.

-измеряем y. Надо построить точную оценку состояния.

Если задача разрешима, то система наблюдаема и матрица (A,c) – наблюдаема и наоборот.

Матрица наблюдаемости:

Критерий наблюдаемости: Если матрица наблюдаемости невырождена, система наблюдаема (можно выразить через y??).

Пример:

- вырождена => не наблюдаема

АЛГОРИТМ НАБЛЮДАТЕЛЬ.

x* - выход наблюдателя (оценка состояния х)

(1) – правая часть - наблюдатель

q – коэффициент усиления

- невязка (ошибка восстановления)

(2)

Из

Если - устойчивое, то наблюдатель сколь угодно точно оценивает переменную состояния (2).

Можно регулировать скорость сходимости и точность с помощью СЗ

Если первая компонента восстановима, а вторая – нет, то система частично ненаблюдаема.

Вход наблюдателя = выход системы. Наблюдатель – человек.

Алгоритм наблюдателя с управлением.

К алгоритму наблюдателя добавляем компоненту управления “bu”:

(1)

(2)

Проверка: из (2)-(1), тогда исчезнет bu и всё будет сходиться.

При решении задачи – декомпозиция – разделение на 2 части:

• моделируем, если система полностью управляема (задача синтеза регулятора)

• заменяем ненаблюдаемые компоненты состояния их оценками.

u

объект

наблюдатель

регулятор

y x*

- если объект управляем, то матрица устойчива

u=c^Tx – стабилизация по состоянию

Если состояние не полностью наблюдаемо, то u=c^Tx* - можем стабилизировать по выходу (y).

Алгоритм наблюдателя с помехами (шум).

CИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ.

Состоит из объекта управления, регулятора и связей.

t=0,1,2,……

, W – возмущение.

- стратегия управления.

w

объект

регулятор

u y

Управление трёх типов:

• ООС (неважна природа возмущения)

• Комбинированное (в законе управления есть W)

• Программное управление (индукция) как функция времени.

АДАПТАЦИЯ

-управление k=k(t)

V(x)>0 при асимптотически устойчива по Ляпунову:

- должна убывать

Пример:

Док-во: A - гурвицова матрица – СЗ в левой полуплоскости.

L – положительно определена(т.е. положительна при любом не нулевом х)

Чтобы адаптировать систему не обязательно знать полную инфу о системе, т.е. адаптация для целого семейства объектов.

Для дискретного времени:

- измеряемый выход

- наблюдаемый вектор входов

- неизвестный вектор параметров

Геометрическая иллюстрация – получить общую точку пересечения плоскостей. Алгоритм Качмажа.

Последовательно будет сходиться к . За N итераций можно попасть в , если плоскости под прямым углом.

Строим функцию Лагранжа:

Подставляем ‘a’ в и находим коэффициент Лагранжа .

Затем подставляем в и находим а.

…

- коррекция против помех. Если =0 – обучение прекращается.

Фактор помех устраняется временной избыточностью.

- белошумная последовательность.

ВОЗМУЩЕНИЯ.

Стохастическая аппроксимация (Роббинса-Монро):

- первое условие

- второе условие.

Пример:

Если темп изменений велик, то может быть срыв слежения.

Возмущения по темпу:

• Быстрые (координатные: ветер)

• Медленные (параметрические: износ инструмента)

Квазистационарность – в среде изменение такие медленные, что в сравнении с координатными возмущениями ими можно пренебречь.

Теория о непрерывных возмущениях:

- условие Лившица: (например, не удовлетворяет).

Возмущённая система: - возмущение.

Если

Пример: реле идеальное не удовлетворяет Лившицу (L=inf)

Реальное реле удовлетворяет: L – большое.

- параметрическое возмущение

- координатное возмущение

Пример:

k –коэф.усиления (известен)

Цель:

Если известен, то (не реализуемо)

Если не известен, то

Введём новую переменную:

Теперь в алгоритме Качмажа (см.выше) вместо y_T подставляетм Y_T

Разделение процессов во времени.

Режимы:

• Пакетный (через буфер)

• Реального времени (Качмажа)

объект

x_t y_t

u_t

компенсатор

идентификатор

Компенсатор – блок быстрых переменных. Регулятор.

Идентификатор – блок медленных переменных. Вычисляет оценки параметров в реальном времени.

Идентификационный (отождествляющий) подход:

• Сначала решаем задачу в полной инфе

• Затем заменяем вектор-параметр оценками.

Пример:

х – быстрые переменные

y – медленные

Пребрегаем :

Теоретическое обоснование см. теорию Тихонова А.Н.

РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ. КЛАССИФИКАЦИЯ.

Два класса задач:

• В детерминистской постановке (т.е. классы разделены a priori и вероятность правильного разделения p=1)

• В стохастической постановке (критерий качества: вероятность ошибки классификации).

Песть существует:

Тогда

Линейное разделение: . Возможно, если “А – выше, B – ниже”, т.е. формы должны быть выкуклые.

Теорема Вейерштрасса:

Можно построить пространство, где образы A и B разделимы. Пространство функций от признаков – спрямляющее. Если подвигать разделяющую плоскость, то она ей и останется (в детерминистской постановке) и можно за конечное число итераций разделить A и B с окрестностью .

Свойство конечной сходимости: последовательность оценок стабилизируется и есть точное разделение. Правильное гарантируется только после завершения алгоритма.

МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

- параметр (например, М или D)

Функция потерь: d(

- истинное

- оценка

Средний риск:

Функция правдоподобия:

Надо искать такое , чтобы функция правдоподобия была максимальной.

- оценка метода макс.правдоподобия.

Критерий Вальда: нужно осмотреть (1/e)%, чтобы выработать критерий.

Пример:

- выборочное среднее.

Пример:

Распределение Лапласа.

Центральная предельная теорема:

Процедура построения робастных оценок.

Выборочная медиана.

см. Huber

Механизм огрубления метода наибольшего правдоподобия.

РАЗНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Гурвицова матрица – СЗ в левой полуплоскости.

Ранг: min(a,b) – a и b – кол-во ненулевых строк и столбцов.

Вероятность – мера в пространстве элементарных исходов.

Белый шум – процесс постоянной спектральной плотности.

a priori – до опыта

a posteriori – после опыта