Среднее число неисправных станков:

.

Попробуем найти более простой способ вычисления . В среднем заявок находится в рабочем состоянии, поток неисправностей . Все эти неисправности устраняются каналом обслуживания: . Тогда:

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

В замкнутых системах количество заявок всегда ограничено, и независимо от интенсивности канала обслуживания существует установившийся режим. Когда коэффициент занятости канала близок к единице, возникает явление «скученности». В этом случае основная масса заявок сосредотачивается в накопителе и канале обслуживания СМО, и малая доля заявок находится вне системы.

Рассмотрим вариант замкнутой СМО для S каналов обслуживания. Граф переходов:

Уравнения вероятностей состояний:

… для

или для ,

или

Среднее число занятых каналов

Среднее число заявок, обслуженных каналами в единицу времени,

Среднее число заявок в системе

Среднее число заявок в очереди

1.5.10. СМО с ограниченным временем ожидания

Рассмотрим вариант многоканальной СМО с ограниченным временем ожидания. Заявки, поступающие на вход системы и заставшие все каналы обслуживания, встают в очередь. По количеству мест очередь не имеет ограничений. Но заявка, простоявшая некоторое время в очереди и не получившая обслуживание, покидает очередь с интенсивностью ухода (покупателю надоело стоять в очереди в магазине и он уходит, позвонив по телефону и услышав занято, человек какое – то время ждет, а затем бросает трубку и т.д.). Будем считать, что время ожидания распределено экспоненциально со средним .

Построим граф переходов для данной системы.

Уравнения вероятностей состояний ,

,

Р₀ вычисляется приближенно (ряд не является геометрической прогрессией). Здесь стационарный режим существует всегда: ряд сходится. Вероятность отказа для данной системы не имеет смысла.

Среднее количество заявок в очереди:

Абсолютная пропускная способность:

где - заявки, ушедшие из очереди в единицу времени.

Тогда относительная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов:

Или

Тогда среднее количество заявок в очереди можно найти по формуле:

1.5.11. Сети СМО

При исследовании различных объектов управления часто встречаются с прохождением заявок последовательно через несколько систем обслуживания. Например, технологический процесс обработки деталей содержит 2 стадии, на каждой из которых производится обработка деталей на соответствующей группе оборудования (рис.1.2.). После второй СМО производится технический контроль, и заявки либо проходят на дальнейшую обработку (с вероятностью ),

Либо возвращаются на повторное выполнение операций (отбраковываются с вероятностью 1- ).

1- 

μ1 μ2

λ

СМО 1

СМО 2

Входной Накопитель Накопитель Выходной

поток поток

заявок заявок

Рис. 1.2. Пример сети СМО

В этом случае СМО образуют сеть, которая характеризуется связями между отдельными СМО и свойствами самих систем. Сеть СМО удобно представлять в виде графа передач (рис.1.3.), где вершины графа соответствуют СМО, дуги указывают возможности перехода заявки из одной СМО в другую, а числа в дугах – вероятности перехода.

СМО 1

1 1 - 

1

И сточник

З аявок  СМО 2

Рис. 1.3. Граф передач

Рассмотрим сеть систем массового обслуживания, которая включает М СМО и один источник заявок. Заявки, выходящие из i-й системы (i = 1,2, … M) с постоянной вероятностью , поступают в систему j или покидают сеть (j = 0). Из источника в систему заявки поступают с вероятностью . Матрицу вероятностей поступления требований из одной системы в другую называют матрицей передач:

Где - циркулирование потока заявок в источнике,

Для графа передач, представленного на рис.1.3., матрица передач будет следующей:

Для определения характеристик сети СМО необходимо определить интенсивности потоков заявок в каждой системе, т.е. среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени в установившемся режиме . Среднее число заявок, покидающих систему, равно среднему числу поступающих заявок, и, следовательно,

В матричной форме это выражение:

Интенсивности потоков заявок в СМО зависят от , следовательно можно определить:

где - интенсивность источника заявок (интенсивность потока, поступающего на вход сети).

Допустим, сеть замкнута, и в ней циркулирует конечное число заявок.

Тогда

Здесь интенсивности потоков определяются общим числом требований в сети. Выбрав некоторую СМО i₀ за базовую, можно определить

Важной характеристикой сети СМО служит среднее время пребывания в ней заявки. Пусть сеть разомкнута. В установившемся режиме вероятность нахождения заявки в СМО определяется

P = PT

Сравнивая с , получаем:

Где p_j - вероятность нахождения заявки в j-й СМО.

Относительная частота прохождения требования через систему j за достаточно большой интервал времени t :

Где - число случаев, когда заявка оказалась в системе j,

N - общее число заявок, прошедших через сеть.

Тогда

При достаточно большом интервале времени

Таким образом, требования, поступающие из источника, раз проходят через систему с номером j, прежде чем вернуться в источник. Следовательно,

Где - среднее время пребывания заявки в СМО с номером j.

Сложность расчета сетей СМО заключается в том, что простейший поток заявок, поступающий в систему, на ее выходе в общем случае будет обладать последействием. А в этом случае нельзя применять рассмотренный выше аппарат анализа марковских СМО. Однако, если на всех приборах сети длительность обслуживания распределена по показательному закону, то выходящие из СМО потоки заявок будут пуассоновскими. Такие сети называются показательными.

Для показательных сетей существует установившийся режим, если для каждой i-й СМО загрузка , и этот режим представляет собой суперпозицию установившихся режимов (одновременность) составляющих систем, рассматриваемых как взаимно независимые и нагруженные источниками с пуассоновскими потоками с интенсивностями , таким образом, определив для каждой системы, можно рассчитывать характеристики каждой отдельной СМО по полученным ранее формулам (подразделы 1.5.1 - 1.5.10).

Состояния сети можно задать вектором, каждая составляющая которого представляет собой число требований в соответствующей СМО:

Вероятность этих состояний сети в установившемся режиме обозначим . Для разомкнутых показательных сетей

Где - вероятность -го состояния i-й СМО, рассчитанная при условии, что эта система нагружена пуассоновским источником с интенсивностью .

1.6. Исследование немарковских СМО

Не все СМО поддаются аналитическим расчетам. Это справедливо для большинства немарковских систем. Кроме того, даже для некоторых типов марковских СМО расчеты могут быть очень громоздкими и сложными. В этих случаях для получения основных характеристик СМО можно использовать имитационное моделирование систем с использованием языка моделирования GPSS.

Язык позволяет очень легко строить модели, получать требуемые результаты и проводить их анализ. Модель может быть легко изменена, что позволяет быстро подбирать для СМО наилучшие характеристики и структуру.

Тема3 . Теория игр.

Содержание

Классификация игр. Представление игр: позиционная и нормальная.

Решение антагонистических игр. Понятие смешанных стратегий. Графический метод. Метод линейного программирования.

Матричные игры и понятие седловой точки. Принцип “минимакса”.

Некооперативные игры.

Методические указания

Объектом исследования теории игр (ТИ) является принятие решений в условиях неопределенности

Выделить отличия антагонистических игр, некооперативных и кооперативных игр.

Рассмотреть две формы представления игр: позиционную и нормальную. Обратите внимание, когда лучше использовать первую, а когда вторую форму представления игр, для каких игр. В позиционных играх особое внимание уделить информационным множествам и их определению.

Обратите внимание, что матричная форма есть частный случай нормальной формы для конечных игр двух лиц. Разберитесь, чем отличаются игры с полной информацией от игр с неполной информацией. От правильного представления игры (определение стратегий и функций выигрыша) зависит успешность решения поставленной задачи.

Обратить внимание на различие чистых и смешанных стратегий. Определение седловой точки. При изучении игр с седловой точкой обратить внимание на возможность нескольких вариантов решения игры.

Контрольные вопросы

1. Для описания каких ситуаций может быть применен аппарат теории игр?

2.Какая игра называется антагонистической?

3. Чем однозначно определяются матричные игры?