Вопросы к экзамену 2003

5

Экзаменационные вопросы по курсу «Случайные процессы»
(часть I – теория вероятности)

(специальность ВИ)

1. Понятие вероятностного пространства. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие свойства вероятностной меры.

2. Вероятностное пространство и способы задания вероятностной меры. Классическое определение вероятности.

3. Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Примеры.

4. Дискретные случайные величины. Функции распределения дискретных случайных величин.

5. Типовые дискретные распределения: бернуллиевское, биномиальное, Пуассона, полиномиальное. Основные формулы.

6. Абсолютно непрерывные распределения, понятие функции распределения, плотности распределения. Основные свойства.

7. Независимые и несовместные события. Условные вероятности. Формула полной вероятности.

8. Апостериорные вероятности. Формула Байеса.

9. Независимость случайных величин. Распределения сумм независимых случайных величин. Примеры.

10. Интеграл Лебега. Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Примеры.

11. Дисперсия и ковариация, коэффициент корреляции, их свойства. Независимость и некоррелированность. Математическое ожидание функции от случайной величины.

12. Числовые характеристики вероятностных распределений (в том числе квантиль, медиана, мода). Примеры. Медиана экспоненциального распределения.

13. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых дискретных распределений: бернуллиевское, биномиальное, Пуассона, полиномиальное.

14. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых абсолютно непрерывных распределений: гамма-распределение, нормальное распределение, равномерное распределение.

15. Моменты случайных величин. Вычисление моментов k-го порядка для стандартной нормальной случайной величины и для гамма-распределения.

16. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Примеры.

17. Неравенства Маркова и Чебышева.

18. Виды сходимости случайных величин: по вероятности, с вероятностью 1, слабая сходимость, сходимость в среднеквадратичном.

19. Определение и свойства производящих функций, нахождение распределений суммы независимых случайных величин. Вычисление k-ого факториального момента с использованием производящих функций. Примеры.

20. Определение и свойства характеристических функций. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление характеристических функций на примере нормального распределения, гамма-распределения.

21. Теорема о равномерной непрерывности характеристических функций (с доказательством), теорема единственности (без доказательства).

22. Линейные преобразования случайных величин: формулы для функции распределения и плотности.

23. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли, Хинчина, Чебышева.

24. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством).

25. Теорема Пуассона (с доказательством).

26. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства).

27. Теорема Лебега (без доказательства). Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения.

28. Комбинаторные задачи теории вероятностей (упорядоченный и неупорядоченный выбор с возвращением и без возвращения). Основные формулы.

29. Случайные размещения. Определение случайной величины , к=0,1,…,n. Вычисление ее математического ожидания и дисперсии.

30. Парадокс дней рождений.

31. Распределения случайных векторов. Понятие математического ожидания и ковариационной матрицы. Примеры.

32. Многомерное нормальное распределение. Его свойства и основные теоремы.

33. Теорема о необходимом и достаточном условии независимости случайных векторов, имеющих многомерное нормальное распределение.

Экзаменационные вопросы по курсу «Случайные процессы»
(часть II – случайные процессы)

(специальность ВИ)

1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов.

2. Законы распределения и основные характеристики случайного процесса.

3. Определение цепи Маркова с конечным множеством состояний. Матрица переходных вероятностей, ее свойства. Вектор вероятности начальных состояний.

4. Способы задания цепи Маркова.

5. Эргодическая теорема для цепей Маркова.

6. Стационарные распределения цепи Маркова. Связь между эргодичностью и стационарностью.

7. Уравнения Колмогорова для цепей Маркова.

8. Представление для вероятностей переходов цепи Маркова за n шагов. Матрица переходных вероятностей за n шагов.

9. Задание меры на траекториях случайного процесса. Определение цилиндрического множества.

10. Теорема Колмогорова.

11. Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Теоремы Колмогорова и Колмогорова-Ченцова (без доказательств).

12. Основные характеристики случайных процессов.

13. Ветвящиеся процессы: основные определения и свойства.

14. Вероятность вырождения ветвящегося процесса.

15. Теорема о производящей функции для численности n-го поколения ветвящегося процесса.

16. Определение стационарного (в широком смысле) случайного процесса. Эргодическое свойство.

3. Задачи

1. Сделано 3 выстрела. Записать события, состоящие в том, что: а) имеется хотя бы одно попадание; б) имеется не менее двух попаданий; в) имеется не более двух попаданий.

2. Упорядоченный выбор с возвращением. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.

3. Упорядоченный выбор без возвращения. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.

4. Неупорядоченный выбор с возвращением. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.

5. Неупорядоченный выбор без возвращения. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.

6. Сколькими способами k пассажиров можно рассадить по n вагонам? Сколькими способами группа из 20 чел. может сдать экзамен?. 5. Сколькими способами можно раздать колоду карт двум игрокам?.

7. Парадокс дней рождений.

8. Монета бросается три раза. Событие А_i состоит в выпадении «герба» в i-ом бросании. Записать через А_i, i=1,2,3 события, состоящие в том, что: a) все три раза выпадала одна и та же сторона монеты; b) одна и та же сторона монеты выпадала два раза подряд; c) «герб» выпадал чаще, чем «решетка». Сколько элементарных исходов включает каждое из событий?

9. Человек забыл три последние цифры телефонного номера и набрал телефон наудачу. Найти вероятность того, что телефон будет набран верно, если: a) он помнит, что среди этих трех цифр не было одинаковых; b) он помнит, что среди этих трех цифр не было одинаковых, а две цифры были нечетными.

10. N пассажиров случайным образом рассаживаются по N вагонам поезда. Найти вероятность того, что хотя бы в один вагон не войдет ни один пассажир.

11. Из партии, содержащей 20 деталей, среди которых 8 бракованных , наудачу отобрано 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется: a) ровно 4 бракованных деталей; b) не менее двух хороших деталей; c) хотя бы одна бракованная деталь.

12. Найти вероятность того, что при раздаче колоды карт четырем игрокам каждому достанется по тузу.

13. Десять различимых частиц размещаются по десяти ячейкам. Найти вероятность того, что ровно две ячейки окажутся пустыми.

14. В урне было а белых и b черных шаров. Один шар, цвет которого неизвестен, потерялся. Найти вероятность того, что наудачу взятый из урны шар окажется белым.

15. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает цель случайно и независимо от остальных. Вероятность попадания в цель для каждого орудия равна p. Найти вероятность того, что из трех целей будет поражено ровно две.

16. Три прибора работают независимо друг от друга. Вероятности отказов приборов равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,15. Известно, что два прибора вышли из строя. Что вероятнее-третий прибор исправен или нет?

17. Испытания Бернулли проводятся до первого (r-ого) успеха. Найти вер. того, что будет проведено ровно k испытаний.

18. . Испытания Бернулли с вер-стью “У” в одном испытании, равной p, проводятся до k-ого “У” включительно. Найти м.о. и дисп. числа “Н”, предшествующих k-ому “У”.

19. По N ячейкам независимо друг от друга размещается n частиц. Каждая из них с вер-стью p_j может попасть в ячеку с номером j, j=1,...,N. Найти м.о. и диспер.числа частиц, оказавшихся в j-ой ячеке.

20. Частицы независимо друг от друга размещается по N ячейкам до тех пор, пока в первой ячейке не наберется k частиц.Найти м.о. и диспер.числа брошенных частиц.

21. Пусть ₁,₂,...,_{n -} независимые случайные величины, такие, что (_j) = П(_j), j=1,2,...,n. Найти закон распределения с.в. S_n= ₁+₂ +...+_n.

22. Найти условное распределение , если ₁,₂,...,_N - независимые случайные величины, такие, что (_j)=П(_j), j=1,2,...,n.

23. Пусть матрица переходных вероятностей однородной марковской цепи с состояниями 0 и 1 имеет вид . Доказать, что при верно представление .

24. Для однородной цепи Маркова из задачи 23 найти .

25. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где фиксировано.

26. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где - независимы.

27. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где - независимы, .фиксировано.

28. Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами - независимы, .фиксировано.

29. Найти плотность распределения случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами , независимы, .фиксировано.

30. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами .

31. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где - абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения .

32. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами .

33. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , .