МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Реферат

по дисциплине «Эконометрика»

на тему: «Автокоррелированность случайной компоненты, ее обнаружение и устранение»»

Оглавление

Оглавление 2

Введение 3

1. Теоретическая часть 4

Автокорреляция 4

Обнаружение автокорреляции 10

Устранение автокорреляции 13

Заключение 17

Список литературы 18

Введение

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Естественно, что при создании модели разработчик не в состоянии учесть все факторы, влияющие на зависимую переменную. Воздействию этих неучтенных факторов подвергается случайный член u уравнения регрессии. Для того, чтобы выполнялось третье условие Гаусса-Маркова, то есть cov(u_k,u_i) ≠0, при k≠i, необходимо, чтобы скрытые в u факторы тоже были некоррелированные со своими значениями в предыдущих наблюдениях.

Естественно, что в большинстве реальных экономических задач условие некоррелированности ошибок невыполнимо.

Наличие автокорреляции затрудняет применение ряда классических методов анализа временных рядов. В моделях регрессии, описывающих зависимости между случайными значениями взаимосвязанных величин, она снижает эффективность применения метода наименьших квадратов. Поэтому выработаны и применяются специальные статистические приемы для ее выявления и элиминирования, а также для модификации самого метода наименьших квадратов.

Данная работа посвящена автокорреляции и ее устранению.

Целью работы является осветить вопросы, касающиеся понятия автокорреляции.

Задачами работы являются:

• раскрыть определение автокорреляции;

• рассмотреть автокорреляцию первого порядка;

• рассмотреть способы устранения автокорреляции.

1. Теоретическая часть

Автокорреляция

Автокорреляция (или серийная корреляция) – это корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные).

Автокорреляция – нарушение третьего условия Гаусса – Маркова, которое заключается в том, что случайные члены регрессии в разных наблюдениях являются зависимыми: cov(u_k,u_i) ≠0, при k ≠ i.

Причиной автокорреляции может быть либо неверная спецификация модели, либо наличие неучтенных факторов. Устранение этих причин не всегда дает нужный результат. Автокорреляция имеет собственные внутренние причины, связанные с автокорреляционной зависимостью. Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить:

• ошибки спецификации,

• инерцию в изменении экономических показателей,

• запаздывающее влияние факторов на экономические показатели и сглаживание данных.

Последствия автокорреляции в некоторой степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Коэффициенты регрессии остаются несмещенными, но становятся неэффективными, и их стандартные ошибки оцениваются неправильно (чаще всего они смещаются вниз, то есть занижаются).

Автокорреляция обычно встречается только в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Случайный член u в уравнении регрессии подвергается воздействию тех переменных, влияющих на зависимую переменную, которые не включены в уравнение регрессии. Если значение u в любом наблюдении должно быть независимым от его значения в предыдущем наблюдении, то и значение любой переменной, “скрытой” в u, должно быть некоррелированным с ее значением в предыдущем наблюдении.

Положительная автокорреляция – ситуация, когда случайный член регрессии в следующем наблюдении ожидается того же знака, что и случайный член в настоящем наблюдении. Соответствует случаю

,

где ρ – коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членами.

Постоянная направленность воздействия не включенных в уравнение пере­менных является наиболее частой причиной положительной автокорреляции — ее обычного для экономического анализа типа. Предположим, что оценива­ем уравнение спроса на мороженное по ежемесячным данным и что состояние погоды является единственным важным фактором, “скрытым” в u. Вероятно, будет несколько последовательных наблюдений, когда теплая погода спо­собствует увеличению спроса на мороженое u, таким образом, u положитель­но, и после этого — несколько последовательных наблюдений, когда ситуация складывается противоположным образом, после чего идет еще один ряд теп­лых месяцев.

Если доход постоянно возрастает со временем, схема наблюдений может быть такой, как показано на рис 1.

Рисунок 1. Положительная автокорреляция

При обозначении объема продаж мороженого через у и дохода через х имеет место трендовая зависимость, отражающая рост объема продаж:

Фактические наблюдения будут в основном сна­чала находиться выше линии регрессии, затем ниже ее и затем опять выше.

Изменения экономической конъюнктуры часто приводят к похожим резуль­татам, особенно наглядным в макроэкономическом анализе, и в литературе о циклах деловой активности есть много таких примеров.

Здесь важно отметить, в частности, что автокорреляция в целом представ­ляет тем более существенную проблему, чем меньше интервал между наблю­дениями. Очевидно, что чем больше этот интервал, тем менее правдоподоб­но, что при переходе от одного наблюдения к другому характер влияния неучтенных переменных будет сохраняться.

Если в примере с мороженым наблюдения проводятся не ежемесячно, а ежегодно, то автокорреляции, вероятно, вообще не будет. Маловероятно, что­бы совокупное влияние погодных условий в одном году коррелировало с ана­логичным влиянием в следующем году.

Автокорреляция может также быть отрицательной.

Отрицательная автокорреляция – ситуация, когда случайный член регрессии в следующем наблюдении ожидается знака, противоположного знаку случайного члена в настоящем наблюдении. Соответствует случаю:

Это озна­чает, что корреляция между последовательными значениями случайного члена отрицательна. В этом случае, скорее всего, за положительным значением в од­ном наблюдении идет отрицательное значение в следующем, и наоборот; ди­аграмма рассеяния при этом выглядит так, как на рисунке 2.

Рисунок 2. Отрицательная автокорреляция

Здесь снова предполагается, что х со временем растет. Линия, соединяющая последовательные наблюдения друг с другом, будет пересекать линию, пока­зывающую зависимость между у и х, чаще, чем можно было ожидать, если бы значения случайного члена не зависели друг от друга.

В экономике отрицательная автокорреляция встречается относительно редко. Но иногда она появляется при преобразовании первоначальной спецификации модели в форму, подходящую для регрессионного анализа.

Автокорреляция первого порядка – ситуация, когда коррелируют случайные члены регрессии в последовательных наблюдениях:

Авторегрессионная схема первого порядка – частный случай автокорреляции первого порядка, когда зависимость между последовательными случайными членами описывается формулой:

,

где ρ – константа,

e_k+1 – новый случайный член.

Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении умноженному на p, плюс новый e_k+1. Данная схема называется авторегресси­онной, поскольку и определяется значениями этой же самой величины с за­паздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом простом случае мак­симальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение в каж­дом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если ρ положительно, то автокорреляция положительная; если ρ отрицательно, то автокорреляция отрицательная. Если ρ = 0, то автокорреляции нет и третье ус­ловие Гаусса—Маркова удовлетворяется.

Не располагая способом измерения значений случайного чле­на, невозможно оценить регрессию непосредственно. Тем не менее можно оценивать p путем оценивания регрессионной зависимости е_k от е_k-1 с использованием обычного Метода наименьших квадратов. При этом

,

Где r – коэффициент автокорреляции остатков.

Можно показать, что

.

Обнаружение автокорреляции

Критерий Дарбина–Уотсона (DW-критерий) – это метод обнаружения автокорреляции первого порядка с помощью статистики Дарбина–Уотсона.

Статистика критерия Дарбина–Уотсона вычисляется по формуле:

,

где e_k – остатки в наблюдениях авторегрессионной схемы первого порядка ,

Значение DW-статистики будем обозначается через d.

Критерий Дарбина–Уотсона обнаруживает только ярко выраженную автокорреляцию первого порядка и лишь при отсутствии лаговых переменных в регрессии.

Если автокорреляция отсутствует, то ρ = 0, и поэтому величина d должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она будет превышать 2. Так как ρ должно находиться между значениями 1 и – 1, то d должно лежать между 0 и 4.

Критическое значение d при любом данном уровне значимости зависит от числа объясняющих переменных в уравнении регрес­сии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит oт конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэто­му невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t- и F-статистик; но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения d. Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как d_U и d_L.

На рисунке 3 представлена данная ситуация. Стрелка указывает критический уровень d, который обозначается как d_крит. Если знать зна­чение d_крит, то можно сравнить с ним значение d, рассчитанное для регрессии. Если бы оказалось, что d d_крит, то невозможно было бы отклонить ну­левую гипотезу об отсутствии автокорреляции. В случае d d_крит возможно отклонить нулевую гипотезу и сделать вывод о наличии положительной автокор­реляции.

Рисунок 3. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию (положительную)

Вместе с тем знаем только, что d_крит находится где-то между d_L и d_U. Это предполагает наличие трех возможностей:

1. Величина d меньше, чем d_L. В этом случае она будет также мень­ше, чем d_крит, и поэтому делаем вывод о наличии положитель­ной автокорреляции.

2. Величина d больше, чем d_U. В этом случае она также больше кри­тического уровня, и поэтому невозможно отклонить нулевую гипо­тезу.

3. Величина d находится между d_L и d_U. В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя опреде­лить, которая из двух возможностей налицо, невозможно ни отклон­ить, ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1 и 2 тест Дарбина—Уотсона дает определенный ответ, но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения, и изменить создавше­еся положение нельзя.

Таким образом, зона неопределенности критерия Дарбина–Уотсона – промежуток значений статистики Дарбина–Уотсона, при попадании в который критерий не дает определенного ответа о наличии или отсутствии автокорреляции первого порядка.

Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симмет­рично справа от 2. Так как отрицательная автокорреляция встречается относи­тельно редко, предполагается, что при необходимости самостоятельно вычисляются гра­ницы зоны на основе соответствующих значений для положительной автокор­реляции при данном числе наблюдений и объясняющих переменных. Как показано на рисунке 4 величина (4 - d_U) есть нижний предел, ниже которого признается отсутствие автокорреляции, а (4 - d_L) — верх­ний предел, выше которого делается вывод о наличии отрицательной автокор­реляции.