Лекция 29 (лекции по УГФС), страница 2

Прежде, чем это сделать, рассмотрим случай, когда индекс модуляции мал и можно считать

а

.

В этом случае выражение (29.14) может быть представлено в следующем виде:

(29.15)

Согласно (29.15), ЧМ и ФМ колебания при малом индексе модуляции могут быть представлены, как и АМ колебание (24.5), в виде трёх гармонических составляющих. Первое слагаемое в (29.15) соответствует высокочастотному колебанию при отсутствии модуляции, то есть оно определяет колебание несущей частоты. Два других слагаемых обязаны модуляции и определяют колебания боковых частот: верхней и нижней . По сравнению с АМ колебанием (24.5) колебание нижней боковой частоты при ЧМ и ФМ оказывается сдвинутым по фазе на 180⁰ относительно колебания нижней боковой частоты при АМ.² На рис.29.2,а представлена векторная диаграмма, соответствующая выражению (29.15) для ЧМ и ФМ колебаний. Для сравнения на рис.29.2,б представлена векторная диаграмма АМ колебания.

П ри АМ вектор результирующего колебания изменяется по амплитуде. При ЧМ и ФМ вектор результирующего колебания совершает угловые колебания относительно положения вектора несущего колебания в пределах угла . Амплитуда результирующего колебания остаётся неизменной (согласно рис.29.2,а величина вектора результирующего колебания при модуляции несколько превышает величину (амплитуду) несущего колебания, что обусловлено приближённостью представления ЧМ или ФМ колебания в виде трёх колебаний (29.15)).

В общем случае ЧМ и ФМ колебания могут быть представлены в виде суммы бесконечного числа гармонических колебаний с частотами , где n = 0, 1, 2, 3, …, амплитуды которых связаны с амплитудой немодулированного колебания функциями Бесселя первого рода n-го порядка с индексом в качестве аргумента. К такому выводу можно прийти, раскладывая в ряд Фурье функции (**) и (***).

Функция (**), будучи чётной функцией времени, при разложении в ряд Фурье содержит лишь косинусоидальные гармоники, причём лишь гармоники чётного порядка. Функция (***), как нечётная функция времени, при разложении в ряд Фурье содержит лишь синусоидальные гармоники, причём лишь нечётного порядка. В соответствии со сказанным можно записать:

.

Коэффициенты являются функциями Бесселя первого рода соответствующего порядка от аргумента .

Подставляя приведенные разложения функций (**), (***) в выражение (29.14), получаем (для сокращения записи начальную фазу высокочастотного колебания примем равной нулю ):

Воспользовавшись формулами

получаем:

(25.16)

Значения функций Бесселя разных порядков представлены в соответствующих книгах в виде таблиц и графиков в зависимости от аргумента. С помощью функций Бесселя можно вычислить амплитуды составляющих ЧМ или ФМ колебания.

Из разложения (25.16) следует, что ЧМ или ФМ колебание с несущей частотой , модулированное гармоническим сигналом с частотой , состоит из несущего колебания и бесконечного множества боковых компонент с частотами

.

При ЧМ и ФМ амплитуда несущего колебания и амплитуды боковых компонент являются функциями от индекса модуляции . Их значения изменяются при передаче одновременно с , то есть с амплитудой модулирующего сигнала при ЧМ и ФМ и дополнительно с частотой модуляции при ЧМ. Функции Бесселя имеют колебательный характер в зависимости от . Соответственно амплитуда несущего колебания и амплитуды боковых компонент имеют то же колебательное изменение, что и функции Бесселя, которым они пропорциональны, и проходят при этом через ряд нулевых значений. Например, амплитуда колебания с несущей частотой проходит через нуль при значениях

Отсюда следует, что составляющая спектра с частотой в модулированном колебании может отсутствовать. По этой причине частоту принято называть средней или центральной частотой ЧМ или ФМ сигнала, а не несущей, как её называют в спектре АМ колебания.

При небольших значениях индекса модуляции боковые компоненты порядка большего единицы имеют весьма малые значения по сравнению с боковыми компонентами первого порядка, а амплитуда колебания с несущей частотой изменяется очень незначительно относительно её немодулированного значения. Так при индексе модуляции амплитуда компоненты второго порядка не превышает 2% от амплитуды несущего колебания и 10% от амплитуды колебания первой боковой компоненты.

Если при малых индексах модуляции пренебречь компонентами выше первой, то выражение ЧМ и ФМ колебания (29.16) упрощается и принимает вид

, (29.17)

соответствующий (29.15).

Из сравнения (29.15) и (29.17) можно заключить, что при индексе модуляции значение функции Бесселя нулевого порядка , а значение функции Бесселя первого порядка .

Если обратиться к графикам функций Бесселя, то можно наглядно увидеть, что максимальное значение имеет функция, порядок которой примерно на единицу меньше аргумента. Это означает, что в спектре ЧМ или ФМ колебания наибольшую амплитуду имеет компонента, номер которой примерно на единицу меньше индекса модуляции . Соответственно на долю этой компоненты приходится и большая часть мощности модулированного колебания. Вообще при основная часть мощности ЧМ или ФМ колебания приходится на долю боковых частот, которые обязаны модуляции и, следовательно, несут информацию. Этим и объясняются более высокая помехоустойчивость и хорошие энергетические показатели при ЧМ и ФМ.

Чем больше индекс модуляции, тем дальше от средней частоты колебания располагаются на оси частот боковые колебания с максимальной амплитудой. Амплитуды компонент ЧМ и ФМ колебания, номер которых больше индекса модуляции, оказываются незначительными и уровень их резко убывает с возрастанием номера компоненты. Это обстоятельство позволяет ограничить рабочую полосу частот, занимаемую ЧМ или ФМ колебанием.

Если ограничить спектр ЧМ или ФМ колебания на уровне компоненты с амплитудою 1% от амплитуды немодулированного колебания, то с достаточной точностью полосу частот ЧМ или ФМ колебания можно определить по формуле

. (29.18)

При ФМ индекс модуляции не зависит от частоты модуляции, а при ЧМ – зависит и определяется соотношением

.

Соответственно для ЧМ колебания формулу (29.18) можно записать в виде

. (29.19)

Из (29.18), (29.19) следует, что при модуляции сложным сигналом рабочую полосу частот ЧМ и ФМ колебаний следует определять, исходя из максимальной частоты модуляции F_МАКС. Определённая при этом полоса частот заведомо окажется шире устанавливаемой формулами (29.18) и (29.19) для меньших частот модуляции. Следовательно, если высокочастотный тракт передатчика или системы с ЧМ или ФМ будет рассчитан на полосу частот при максимальной частоте модуляции, то при работе с меньшими частотами модуляции полоса частот высокочастотного тракта будет более чем достаточной. В этом также причина указания индекса модуляции при ЧМ соотношением (*)

.

Следует отметить, что определение полосы частот ЧМ и ФМ колебания по формулам (29.18), (29.19) дано на энергетической основе: в этой полосе сосредотачивается практически вся энергия колебания. За пределами этой полосы оказываются компоненты, амплитуда каждой из которых не превышает 1% от амплитуды немодулированного колебания. В реальности систему передачи необходимо рассчитывать на основании условия, чтобы внесённые искажения не превышали определённые, заранее заданные пределы.

Если принять, чтобы за пределами полосы оказывались компоненты, амплитуды которых не превышают 5% от немодулированного колебания, то рабочая полоса частот ЧМ или ФМ колебания определяется соотношением

. (29.20)

При ЧМ можно также считать

.

Искажения сигнала за счёт ограничения пропускаемого спектра ЧМ или ФМ колебания при выборе полосы высокочастотного тракта согласно (29.20) не превышают единиц процентов.

Согласно (29.20) полоса частот, занимаемая ЧМ или ФМ колебанием, оказывается в раз шире полосы частот АМ колебания. При полосы частот ЧМ, ФМ и АМ колебаний практически одинаковы. При полоса частот ЧМ колебания .

Ограничение спектра ЧМ или ФМ колебания высокочастотным трактом обусловливает появление у сигнала на выходе тракта амплитудной модуляции. Очевидно, чем с более высоким уровнем будут ограничены компоненты, тем больше будет глубина возникающей АМ.³ Для уменьшения глубины возникающей АМ следующий каскад ставится в перенапряжённый режим или сигнал подвергается амплитудному ограничению.⁴

Ранее мы отмечали, чтобы передача с использованием ЧМ или ФМ имела преимущества перед АМ в отношении помехоустойчивости, необходимо иметь . А это приводит к существенному расширению рабочего спектра ЧМ или ФМ колебания и занимаемой им полосы частот (29.18), (29.20). Поэтому ЧМ применяется в передатчиках с рабочей частотой более (30…40) МГц, то есть начиная с метрового диапазона волн.

Так как линия радиосвязи с ЧМ более помехоустойчива, чем с АМ, то на таких линиях можно работать с менее мощными передатчиками. Сами передатчики с ЧМ имеют ряд преимуществ перед передатчиками с АМ: