Лабораторная работа N3

Исследование устойчивости

Цель работы

Ознакомление с различными методами исследования устойчивости линейных систем с помощью ппп MATLAB.

Краткое описание MATLAB

Устойчивость линейной системы с помощью ппп MATLAB можно определить путем непосредственного вычисления корней характеристического уравнения. В нем имеется встроенная функция roots, которая позволяет вычислять корни полинома. Она имеет один аргумент и обращение к ней имеет вид roots(полином). Например, если требуется вычислить корни полинома , то программа будет иметь следующий вид:

>>p=[9 15 16 7 1];

>>r=roots(p)

r=

-0.5000+0.8660i

-0.5000-0.8660i

-0.3333

-0.3333

По заданным корням можно построить полином, корнями которого они являются, воспользовавшись функцией poly. Для этого нужно заданные корни, например r1, r2, r3, записать в виде вектора столбца korn=[r1;r2;r3] (запись вектора столбца отличается от записи вектора строки тем, что между элементами вместо пробела проставляется точка с запятой) и сделать его аргументом указанной функции: poly(korn).

Как известно, устойчивость замкнутых систем можно определить путем построения амплитудно-фазовой (критерий Найквист) и логарифмических (логарифмический частотный критерий) частотных характеристик разомкнутой системы. Функция nyquist, которая позволяет строить амплитудно-фазовую частотную характеристику, была рассмотрена в первой лабораторной работе. Для построения логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) в ппп MATLAB имеется функция bode, обращение к которой может иметь вид

bode(sys), bode(sys,w), [mag,phase,w]= bode(sys,w).

Здесь sys обозначает передаточную функцию системы, w – частоту, mag и phase – логарифмические амплитудную и фазовую частотные функции соответственно. Команда bode(sys) строит на экране логарифмические амплитудную (ЛАЧХ) и фазовую (ЛФЧХ) частотные характеристики. Диапазон частот определяется автоматически. Команда bode(sys,w) строит ЛАЧХ и ЛФЧХ в заданном диапазоне. Частота на интервале [ ] в n точках может быть задана с помощью функции logspace. Обращение к ней в этом случае имеет вид

>> w= logspace(a,b,n);

\

Команда [mag,phase,w]= bode(sys,w) выполняет расчеты амплитудных и фазовых частотных функций.

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе можно определить с помощью функции margin. Команда для их определения имеет вид

margin(mag,phase,w)

Естественно, эта команда должна следовать за командой [mag,phase,w]= bode(sys,w), которая вычисляет mag и phase.

В заключении рассмотрим функцию conv, которая предназначена для перемножения полиномов. При перемножении двух полиномов p и q команда имеет вид

>>conv(p,q);

Например, если нужно перемножить полиномы и , то программа будет выглядеть следующим образом:

>>p=[3 2 1];q=[2 3];

>>p1=conv(p,q)

p1=

[6 13 8 3]

Таблица 3.1

Задание

Требуется исследовать устойчивость замкнутой системы (рис. 3.1) при П-, ПД- и ПИ-регуляторе. Передаточная функция объекта имеет вид

.

Параметры объекта и регулятора приведены в таблице 3.1.

1. Исследовать устойчивость при , где , путем вычисления корней характеристического уравнения и по критерию Найквиста.

2. Исследовать устойчивость при , где , путем вычисления корней характеристического уравнения и по критерию Найквиста.

1. Исследовать устойчивость при , где , путем вычисления корней характеристического уравнения и по логарифмическому частотному критерию. Определить запасы устойчивости по амплитуду и по фазе.

Содержание отчета

Отчет должен содержать данные исследуемой системы, программы, результаты наблюдений (корни и частотные характеристики) и выводы по каждому пункту.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется основное условие устойчивости?

2. Как формулируется необходимое условие устойчивости?

3. Как формулируется критерий устойчивости Гурвица?

4. Как формулируется критерий устойчивости Льенара-Шипара?

5. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста?

6. Как формулируется логарифмический частотный критерий устойчивости?