Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену по теории функции комплексного переменного (ТФКП). 4 семестр.

1. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Комплексная плоскость. Стереографическая проекция. Бесконечно удалённая точка.
2. Основные элементарные функции комплексного переменного. Понятие о многозначной функции, комплексный (большой) логарифм.
3. Приращение, предел и непрерывность комплексной функции. Определение регулярной (аналитической) функции комплексного переменного, условия Коши-Римана. Производная комплексной функции, её свойства. Гармоничность вещественной и мнимой частей регулярной функции.
4. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения. Примеры.
5. Криволинейный интеграл в комплексной плоскости, свойства, выражение через вещественные интегралы.
6. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования, формула Ньютона-Лейбница. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.
7. Интегральная формула Коши для регулярной функции, для производных функции. Теорема о существовании производных любого порядка регулярной функции.
8. Комплексный числовой ряд, его сходимость. Признаки Даламбера, Коши. Комплексный степенной ряд. Теорема Абеля.
9. Ряд Тейлора регулярной функции, интегральные и дифференциальные выражения его коэффициентов. Радиус сходимости ряда Тейлора.
10. Ряд Лорана для функции, аналитической в кольце. Теорема единственности, формулы для коэффициентов.
11. Изолированные особые точки комплексной функции и их классификация по структуре главной части ряда Лорана или по пределу функции. Примеры.
12. Нуль регулярной функции, его кратность. Связь полюса функции f(z) с нулём
функции 1/f(z)
13. Вычет функции. Вычисление вычета функции в устранимой точке, простом и кратном полюсе, связь вычета с рядом Лорана.
14. Ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки, классификация особенностей в бесконечности.
15. Основная теорема о вычетах. Вторая теорема о полной сумме вычетов.
16. Вычисление несобственных интегралов по вещественной оси с помощью теории вычетов.
17. Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида

18. Логарифмический вычет. Теорема о логарифмическом вычете.
19. Принцип аргумента. Теорема Руше.
20. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру интегралов, зависящих от параметра.
21. Равномерная сходимость, признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
22. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру. Примеры.
23. Гамма-функция и её свойства: формулы приведения, дополнения. Продолжение гамма-функции на отрицательную полуось.
24. Бета-функция. Свойства, связь с гамма-функцией.
25. Применение гамма- и бета-функций к вычислению интегралов. Примеры.