Теория вероятностей (Шпаргалки по терверу), страница 4

3. Поток называется ординарным, если вероятность наступления двух и более событий за некоторый достаточно малый интервал времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот интервал.

Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.

47. Закон распределения числа событий за фиксированный промежуток времени и закон распределения интервала времени между событиями в простейшем потоке.

Пусть рассматривается какой-то поток событий. С ним всегда можно связать дискретную СВ – число событий, происходящих за интервал длины . Эта СВ дискретна. С этим же потоком можно связать НСВ – интервал времени между событиями. Т – интервал времени между событиями в потоке. Для простейшего потока доказано, что число событий, попадающих на интервал длины  является ДСВ, распределенной по закону Пуассона. Вероятность того, что за время  произойдет ровно k событий.

(a > 0)

a =  ,  - интенсивность простейшего потока

п
ри  = 1

Н айдем закон распределения интервала времени между событиями простейшего потока. Выведем закон распределения интервала времени между событиями в потоке.

F(t) = ?

Fт(t) = P(T<t) = 1 – P(T  t) = 1 – Pt(k=0) = 1 - = 1 – e-t, t  0

Fт(t) = e-t

Всякий простейший поток можно задать интенсивностью, либо задать среднее значение времени между событиями в потоке (Т).

Средняя продолжительность интервала времени ; М(Т) = =   =

1. Многоканальная СМО с отказами.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть СМО имеет n каналов обслуживания и на вход в систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Будем считать, что среднее время обслуживания одной заявки одним каналом Тоб=1/; продолж. Обслуж. Тоб—СВ, распределенная по показательному закону с параметром . Тогда при непрерывной работе канала он может обслужить  заявок в единицу времени (технич., профес. Хар-ка каналов).

Пусть в случае, когда заявка, поступившая в систему, застает свободный хотя бы один канал, то она поступает сразу под обслуживание каким-то одним каналом. Если же заявка поступает в момент занятости всех каналов, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему необслуженной. Нарисуем граф состояний таких СМО, при этом нумерацию состояний будем вести по числу заявок, находящихся в системе: S0—заявок нет S1—одна заявка, один канал занят, n-1 каналов свободно ,,, Sn—n заявок, n каналов занято, нет свободных.

   

S0

S1

S2

Sn-1

Sn

• 2 3 (n-1) n

Вероятности состояний:

Р0=(1+ )-1

P1= ; P2=(2/(2!2))*P0;....;Рr=(k/k!k)*P0

1. Ротказа=Рn ( все каналы заняты).

2. Относительная пропускная способность системы (вер-ть обслуживания) q=1—Pотказа=1—Рn

3. Абсолютная пропускная способность(ср. число заявок, обслуж. за единицу времени) A=q

4. Среднее число занятых каналов =Aq/

Можно найти двумя способами:

1. кзан—число занятых каанлов—СВ . зан=М(кзан)=

2. зан=A/ 5. незан=n— зан 7. Степень загруженности каналов = зан/n

1. Многоканальная СМО с ограниченным числом мест в очереди.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть дана сис-ма с простейшим потоком, инт-ть которого , один канал в среднем может обслужить  заявок в единицу времени. Пусть в сис-ме имеется m мест для постановки заявок в очередь. Предположим, что заявка, заставшая в момент своего поступления один канал свободным, тут же обслуж. Если же в момент поступления заявки все каналы заняты, но имеется хотя бы одно свободное место в очереди, то заявка становится в очередь на обслуживание, при этом как только один из каналов освобождается, одна заявка из очереди поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему, застает занятыми все каналы и места в очереди, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему. Возможные состояния системы: S0—заявок нет S1—одна заявка, n-1 канал свободен, все места в очереди свободны Sn—n заявок, все каналы заняты, все места в очереди свободны Sn+1—все каналы заняты, 1 заявка в очереди, m-1 мест в очереди свободны Sn+m—все каналы заняты, m мест (все) в очереди заняты.

•     

S0

S1

S2

Sn-1

Sn

Sn+1

Sn+m

• 2 3 n n n

Предельные вероятности состояний:

Р₀=(1+

1.Ротказа=Рn+m= =

2.Относительная пропускная сп-ть q=1—Pn+m 3.Абсолютная пропускная сп-ть A=q 4.Среднее число заявок в очереди

5. . 6.

1. Многоканальная СМО с неограниченным числом мест в очереди.

2. Многоканальная СМО с отказами.

СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания.

Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов).

Пусть число мест в очереди не ограничено. Хар-ки этой СМО получим из характеристик СМО с ограниченным количеством мест в очереди, предполагая, что m—>. Тогда в выражении для Р0 имеем

Р0= =

При m —> 2...+m-1 сходится только в том случае, если 0<<1; если >=1 сумма расходится, т.е. для этой СМО процесс не является транзитивным. Следовательно, предельные вер-ти состояний не существенны.

Будем считать, что при m—>, <1 . Следовательно предельн. вер-ти сост-й сущ. и хар-ки СМО след.:

2. Ротказа=0

3. q=1 каждая заявка будет обслужена

4. .

5. Среднее время ожидания . 6.A=q=. 7.