Теория вероятностей (Шпаргалки по терверу), страница 3

Доказательство несмещенности точечной оценки

Вывод: - нормально распределенная СВ, , , тогда чтобы найти вероятность заданного отклонения P(|a – | < ) = j

P(|a – | < ) = 2Ф( ) = 2Ф( ), где ; Ф( ) =

По таблице для функции Лапласа по значению функции равной находим значение аргумента ; ; Вместо обозначаем .; P(|a – | < ) = P(-< a - < ) = P( -  < a < + ) = j

( - ; + ) – доверительный интервал.

1. Проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия.

В статистике рассматриваются гипотезы двух типов:

1. Параметрические – гипотезы о значении параметра известного распределения;

2. Непараметрические – гипотезы о виде распределения.

Обычно выделяют основную гипотезу – нулевую (H0). Пример: математическое ожидание признака , который распределен по нормальному закону и дисперсия его известна, а H0: M() = a. Предполагаем, что известна дисперсия Конкурирующая гипотеза имеет вид: H1: M()  a;

H 1: M() > a, либо H1: M() = a1. Для проверки гипотез используются критерии, и они представляют собой специальным образом подобранные СВ, k – точечный или приближенный закон, который известен.

Обычно предполагается, что если гипотеза Н0 выполняется, то вычисляемая по выборочным данным kнабл. Этого критерия и гипотеза Н0 принимается, если kнабл. (kкритич. левостор.; kкритич. правостор.) Если kнабл. попадает в критическую область (все остальные значения k (-  ; kкритич. лев.)  (kкритич. прав. ; ), то гипотеза Н0 отвергается и принимается конкурирующая гипотеза Н1. При этом возможны ошибки двух типов: Первого рода: что гипотеза Н0 отвергается, в то время, как она верна. Вероятность этой ошибки: P(H1/H0) =  - уровень значимости критерия. Критерий подбирается так, чтобы  была как можно меньше. Второго рода: что отвергается гипотеза Н1, в то время, как она верна.  = P(H0/H1) Мощностью критерия – (1-) - вероятность попасть точке-выборке в критическое множество, когда верна конкурирующая гипотеза.

1- = P(H1/H1)

37. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при известных дисперсиях. Признак  и  распределены нормально с известными дисперсиями.

Пусть по выборкам 1, 2, ... , n объема n, 1, 2, ... , m объема m, получены выборочные средние значения ( ; ). Выдвигается гипотеза о равенстве генеральных средних: H0: M() = M(); При конкурирующей гипотезе:

H
1: M()  M(); В качестве проверки гипотезы выбираем новую СВ ;

- СВ:

Д(Z)- дисперсия Д(( - )/( - )) =

M
(Z) = 0; Д(Z) = 1. Для того, чтобы выбрать Zкр. и при заданном уровне значимости , определить принимается или не принимается основная гипотеза, найти вероятности.

P(0 < Z < Zкр.) + P(Z > Zкр. прав.) = ½ Ф(Zкр.) + /2 = ½ Ф(Zкр. прав.) = ½ - /2

Zнабл. =

|Zнабл.| < Zкр.прав.  Н0 |Zнабл.| > Zкр.прав.  Н0 отвергается.

38. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних при неизвестных дисперсиях.

Пусть  и  нормально распределенные СВ, предполагается, что неизвестны, но равны между собой дисперсии. 1, 2, ... , n 1, 2, ... , m

; : Н0: М() = М() Н1: М()  М()

Для проверки гипотезы Н0, вводится СВ t, которая представляет собой

Теоретическое обозначение признака; СВ Т распределена по закону Стъюдента, зависит от первого параметра, который называется числом степеней свободы (k).

k = n + m – 2 (по таблице для распределения Стъюдента при заданном значении k и уровне значимости  в зависимости от вида альтернативной и конкурирующей гипотезы, находятся либо односторонние tкр., либо двухсторонние tкр.).

Ткр. прав. = - Ткр. лев. | Тнабл. | < Ткр. двуст.  Н0 | Тнабл. | > Ткр. двуст.  Н0 отвергается.

42. Марковские случайные процессы. Размеченный граф состояний.

Предположим, что дана система S. Предп., что состояние этой сис-мы хар-ся параметрами состояний. Если состояние системы меняется во времени случайно, то говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма —аудитория. Для хар-ки состояния используется параметр—число студентов, тогда эта система с дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями и непрерывным t: сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет состояние. Если параметр t принимает дискретные значения (t=1,2,3,...), то происходит процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным t. Пусть S1, S2,...,Sn —возможные состояния сис-мы. Для описания процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-ти каждого состояния на произвольный момент t. Р1(t)—вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии. Процесс, протекающий в системе, наз. марковским, если для него вероятность попасть в состояние Xi=Si в момент ti зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния Xi-1=Si, в котором процесс был в предыдущий момент времени ti-1. Графом называется совокупность вершин и дуг, соединяющих эти вершины. Для описания процесса, протекающего в системе, удобно использовать размеченный граф состояний, в котором в кач-ве вершин исп-ся различные состояния системы, а в кач-ве дуг—стрелки, показ. возможные переходы за 1 шаг из состояния в состояние. При этом над каждой стрелкой указ. Плотность вероятности соответствующего перехода.

43. Система дифф. уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.

Пусть дан марковский случайный процесс. Рi(t)—вер-ти состояний: i=1,n(все с чертой), тогда для Рi(t) выполняется следующее дифференциальное уравнение

d Рi(t)/dt=( от i<>k,k=1 до n) ki* Рi(t)—( от j<>1,j=i до n) ij*Pi(t); i=1,n(все с чертой) (1) Система из n уравнений , т.к. для любого момента t ( от i=1 до n) Pi(t), то в системе (1) одно любое уравнение м-но отбросить. И, задав начальное условие на момент t=t0, P1(t0)=1, Pi(t0)=0, i=1,n( все с чертой).

В итоге м-но решить сис-му дифф. ур-ний и найти все вер-ти состояний Pi(t), i=1,n(все с чертой).

44. Предельные вероятности состояний. Нахождение предельных вероятностей.

Предположим, что дан марковский случайный процесс, тогда, используя уравнение Колмогорова, можно найти Рi(t); i =

Предельными или финальными вероятностями называют пределы

, если эти вероятности существуют, т.е. = Рi.

Если эти предельные вероятности существуют, то в системе устанавливается стационарный режим, при котором состояние системы меняется случайным образом, но вероятность каждого состояния остается неизменной.

Предельная вероятность в марковском случайном процессе существует, если этот процесс удовлетворяет свойству транзитивности. Процесс в протекающей системе называется транзитивным, если существует интервал времени , в течение которого система может перейти из любого состояния Si в любое другое состояние Sj.

А лгебраические уравнения для предельной вероятности состояний

Пусть марковский случайный процесс удовлетворяет свойству транзитивности, тогда для него при t   существуют предельные вероятности состояний Pi=const.

, , в этом случае вместо дифференциального уравнения Колмогорова получили систему линейных уравнений относительно вероятности состояний

Одно уравнение отбрасывается, остается n уравнений, решая эту систему получаем Р1, Р2, ... , Рn.

4
5. Процессы гибели и размножения. Формулы для нахождения предельных вероятностей.

М ы предполагаем, что все потоки, переводящие систему из любого Si в Si+1 и из Si в Si-1 являются простейшими.

i, i+1

i, i-1

Процессы такого типа называются процессами гибели и размножения.

Составим систему уравнений для нахождения предельной вероятности состояний:

S0: 01P0 = 10P1 S1: 10P1 + 12P1 = 01P0 + 21P2 S2: 21P2 + 23P2 = ­12P1 + 32P3 ... Sn: n, n-1 Pn = n-1, n Pn-1 P0 + P1 + P2 + ... + Pn = 1

И з первого уравнения выражаем P1 =

01P0 + 12P­1 = 01P0 + 21P2

P2 =

P3 = Pn = ...

P0 + ... + = 1

46. Потоки событий. Простейший поток и его свойства.

П отоком событий называется последовательность каких-то однородных событий, следующих друг за другом через случайные интервалы времени, т.е. в произвольные моменты времени.

Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками, соответствующими моменту наступления событий.

Например: - поток вызовов, поступающих на станцию скорой помощи;

- поток автомобилей, пересекающих перекресток.

Среднее число событий, происходящих в единицу времени называется интенсивностью потока.  - среднее число событий в потоке, происходящее за единицу времени. Свойства потока:

1. П
   оток называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за интервал времени длины а зависит от длины этого интервала и не зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала.

t2 – t1 = a

1. П
   оток событий называется потоком без последействия (без последствия), если для любых непересекающихся интервалов времени длины 1 и 2.

Вероятность появления того или иного числа событий в интервале 2 не зависит от того, какое число событий произошло в интервале 1.

Иначе, отсутствие последствия означает независимость наступления событий во времени.