Вопросы к экзамену 2003
Описание файла
Документ из архива "Вопросы к экзамену 2003", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Вопросы к экзамену 2003"
Текст из документа "Вопросы к экзамену 2003"
5
Экзаменационные вопросы по курсу «Случайные процессы»
(часть I – теория вероятности)
(специальность ВИ)
-
Понятие вероятностного пространства. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие свойства вероятностной меры.
-
Вероятностное пространство и способы задания вероятностной меры. Классическое определение вероятности.
-
Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Примеры.
-
Дискретные случайные величины. Функции распределения дискретных случайных величин.
-
Типовые дискретные распределения: бернуллиевское, биномиальное, Пуассона, полиномиальное. Основные формулы.
-
Абсолютно непрерывные распределения, понятие функции распределения, плотности распределения. Основные свойства.
-
Независимые и несовместные события. Условные вероятности. Формула полной вероятности.
-
Апостериорные вероятности. Формула Байеса.
-
Независимость случайных величин. Распределения сумм независимых случайных величин. Примеры.
-
Интеграл Лебега. Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Примеры.
-
Дисперсия и ковариация, коэффициент корреляции, их свойства. Независимость и некоррелированность. Математическое ожидание функции от случайной величины.
-
Числовые характеристики вероятностных распределений (в том числе квантиль, медиана, мода). Примеры. Медиана экспоненциального распределения.
-
Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых дискретных распределений: бернуллиевское, биномиальное, Пуассона, полиномиальное.
-
Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых абсолютно непрерывных распределений: гамма-распределение, нормальное распределение, равномерное распределение.
-
Моменты случайных величин. Вычисление моментов k-го порядка для стандартной нормальной случайной величины и для гамма-распределения.
-
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Примеры.
-
Неравенства Маркова и Чебышева.
-
Виды сходимости случайных величин: по вероятности, с вероятностью 1, слабая сходимость, сходимость в среднеквадратичном.
-
Определение и свойства производящих функций, нахождение распределений суммы независимых случайных величин. Вычисление k-ого факториального момента с использованием производящих функций. Примеры.
-
Определение и свойства характеристических функций. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление характеристических функций на примере нормального распределения, гамма-распределения.
-
Теорема о равномерной непрерывности характеристических функций (с доказательством), теорема единственности (без доказательства).
-
Линейные преобразования случайных величин: формулы для функции распределения и плотности.
-
Закон больших чисел. Теоремы Бернулли, Хинчина, Чебышева.
-
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством).
-
Теорема Пуассона (с доказательством).
-
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства).
-
Теорема Лебега (без доказательства). Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения.
-
Комбинаторные задачи теории вероятностей (упорядоченный и неупорядоченный выбор с возвращением и без возвращения). Основные формулы.
-
Случайные размещения. Определение случайной величины , к=0,1,…,n. Вычисление ее математического ожидания и дисперсии.
-
Парадокс дней рождений.
-
Распределения случайных векторов. Понятие математического ожидания и ковариационной матрицы. Примеры.
-
Многомерное нормальное распределение. Его свойства и основные теоремы.
-
Теорема о необходимом и достаточном условии независимости случайных векторов, имеющих многомерное нормальное распределение.
Экзаменационные вопросы по курсу «Случайные процессы»
(часть II – случайные процессы)
(специальность ВИ)
-
Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов.
-
Законы распределения и основные характеристики случайного процесса.
-
Определение цепи Маркова с конечным множеством состояний. Матрица переходных вероятностей, ее свойства. Вектор вероятности начальных состояний.
-
Способы задания цепи Маркова.
-
Эргодическая теорема для цепей Маркова.
-
Стационарные распределения цепи Маркова. Связь между эргодичностью и стационарностью.
-
Уравнения Колмогорова для цепей Маркова.
-
Представление для вероятностей переходов цепи Маркова за n шагов. Матрица переходных вероятностей за n шагов.
-
Задание меры на траекториях случайного процесса. Определение цилиндрического множества.
-
Теорема Колмогорова.
-
Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Теоремы Колмогорова и Колмогорова-Ченцова (без доказательств).
-
Основные характеристики случайных процессов.
-
Ветвящиеся процессы: основные определения и свойства.
-
Вероятность вырождения ветвящегося процесса.
-
Теорема о производящей функции для численности n-го поколения ветвящегося процесса.
-
Определение стационарного (в широком смысле) случайного процесса. Эргодическое свойство.
3. Задачи
-
Сделано 3 выстрела. Записать события, состоящие в том, что: а) имеется хотя бы одно попадание; б) имеется не менее двух попаданий; в) имеется не более двух попаданий.
-
Упорядоченный выбор с возвращением. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.
-
Упорядоченный выбор без возвращения. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.
-
Неупорядоченный выбор с возвращением. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.
-
Неупорядоченный выбор без возвращения. Число исходов. Интерпретация в терминах схемы случайных размещений.
-
Сколькими способами k пассажиров можно рассадить по n вагонам? Сколькими способами группа из 20 чел. может сдать экзамен?. 5. Сколькими способами можно раздать колоду карт двум игрокам?.
-
Парадокс дней рождений.
-
Монета бросается три раза. Событие Аi состоит в выпадении «герба» в i-ом бросании. Записать через Аi, i=1,2,3 события, состоящие в том, что: a) все три раза выпадала одна и та же сторона монеты; b) одна и та же сторона монеты выпадала два раза подряд; c) «герб» выпадал чаще, чем «решетка». Сколько элементарных исходов включает каждое из событий?
-
Человек забыл три последние цифры телефонного номера и набрал телефон наудачу. Найти вероятность того, что телефон будет набран верно, если: a) он помнит, что среди этих трех цифр не было одинаковых; b) он помнит, что среди этих трех цифр не было одинаковых, а две цифры были нечетными.
-
N пассажиров случайным образом рассаживаются по N вагонам поезда. Найти вероятность того, что хотя бы в один вагон не войдет ни один пассажир.
-
Из партии, содержащей 20 деталей, среди которых 8 бракованных , наудачу отобрано 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется: a) ровно 4 бракованных деталей; b) не менее двух хороших деталей; c) хотя бы одна бракованная деталь.
-
Найти вероятность того, что при раздаче колоды карт четырем игрокам каждому достанется по тузу.
-
Десять различимых частиц размещаются по десяти ячейкам. Найти вероятность того, что ровно две ячейки окажутся пустыми.
-
В урне было а белых и b черных шаров. Один шар, цвет которого неизвестен, потерялся. Найти вероятность того, что наудачу взятый из урны шар окажется белым.
-
Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает цель случайно и независимо от остальных. Вероятность попадания в цель для каждого орудия равна p. Найти вероятность того, что из трех целей будет поражено ровно две.
-
Три прибора работают независимо друг от друга. Вероятности отказов приборов равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,15. Известно, что два прибора вышли из строя. Что вероятнее-третий прибор исправен или нет?
-
Испытания Бернулли проводятся до первого (r-ого) успеха. Найти вер. того, что будет проведено ровно k испытаний.
-
. Испытания Бернулли с вер-стью “У” в одном испытании, равной p, проводятся до k-ого “У” включительно. Найти м.о. и дисп. числа “Н”, предшествующих k-ому “У”.
-
По N ячейкам независимо друг от друга размещается n частиц. Каждая из них с вер-стью pj может попасть в ячеку с номером j, j=1,...,N. Найти м.о. и диспер.числа частиц, оказавшихся в j-ой ячеке.
-
Частицы независимо друг от друга размещается по N ячейкам до тех пор, пока в первой ячейке не наберется k частиц.Найти м.о. и диспер.числа брошенных частиц.
-
Пусть 1,2,...,n - независимые случайные величины, такие, что (j) = П(j), j=1,2,...,n. Найти закон распределения с.в. Sn= 1+2 +...+n.
-
Найти условное распределение , если 1,2,...,N - независимые случайные величины, такие, что (j)=П(j), j=1,2,...,n.
-
Пусть матрица переходных вероятностей однородной марковской цепи с состояниями 0 и 1 имеет вид . Доказать, что при верно представление .
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где фиксировано.
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где - независимы.
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где - независимы, .фиксировано.
-
Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами - независимы, .фиксировано.
-
Найти плотность распределения случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами , независимы, .фиксировано.
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами .
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где - абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения .
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , где имеет нормальное распределение с параметрами .
-
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию для случайного процесса , .
Билет №1 Номера вопросов: 1, 1. Задача 1. | Билет №2 Номера вопросов: 2, 2. Задача 2. |
Билет №3 Номера вопросов: 3, 3. Задача 3. | Билет №4 Номера вопросов: 4, 4. Задача 4. |
Билет №5 Номера вопросов: 5, 5. Задача 5. | Билет №6 Номера вопросов: 6, 6. Задача 6. |
Билет №7 Номера вопросов: 7, 7. Задача 7. | Билет №8 Номера вопросов: 8, 8. Задача 8. |
Билет №9 Номера вопросов: 9, 9. Задача 9. | Билет №10 Номера вопросов: 10, 10. Задача 10. |
Билет №11 Номера вопросов: 11, 11. Задача 11. | Билет №12 Номера вопросов: 12, 12. Задача 12. |
Билет №13 Номера вопросов: 13, 13. Задача 13. | Билет №14 Номера вопросов: 14, 14. Задача 14. |
Билет №15 Номера вопросов: 15, 15. Задача 15. | Билет №16 Номера вопросов: 16, 16. Задача 16. |
Билет №17 Номера вопросов: 17, 1. Задача 17. | Билет №18 Номера вопросов: 18, 2. Задача 18. |
Билет №19 Номера вопросов: 19, 3. Задача 19. | Билет №20 Номера вопросов: 20, 4. Задача 20. |
Билет №21 Номера вопросов: 21, 5. Задача 21. | Билет №22 Номера вопросов: 22, 6. Задача 22. |
Билет №23 Номера вопросов: 23, 7. Задача 23. | Билет №24 Номера вопросов: 24, 8. Задача 24. |
Билет №25 Номера вопросов: 25, 9. Задача 25. | Билет №26 Номера вопросов: 26, 10. Задача 26. |
Билет №27 Номера вопросов: 27, 11. Задача 27. | Билет №28 Номера вопросов: 28, 12. Задача 28. |
Билет №29 Номера вопросов: 29, 13. Задача 29. | Билет №30 Номера вопросов: 30, 14. Задача 30. |
Билет №31 Номера вопросов: 31, 15. Задача 31. | Билет №32 Номера вопросов: 32, 16. Задача 32. |
Билет №33 Номера вопросов: 33, 1. Задача 33. | Билет №34 Номера вопросов: 1, 2. Задача 1. |
Билет №35 Номера вопросов: 2, 3. Задача 2. | Билет №36 Номера вопросов: 3, 4. Задача 3. |