Шпаргалка на аттестацию

1)Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.

Типы матриц: Треугольная

Единичная Блочно-диагональная Верхнетреугольная Нижнетреугольная

Вырожденная Диагональная Ортогональная Симметричная

Квадратная (называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов.)

Линейные операции:

А+В = Аij + Bij βA=βAij

Сво-ва:

A + (B + C) = (A + B) + C A + B = B + A А+0=А А+(-А)=0

λ (βА)=β(λА) β(А+В)= βА + βВ (λ +β)А = λВ+ βА 1*А=А

Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n — матрица AT размеров n*m , определённая как AT[i, j] = A[j, i].

2) Умножение матриц — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Умножение матриц не коммутативно. Умножение матриц ассоциативно : (АВ)С=(СВ)А

A(B + C) = AB + AC (AT)T = A (A * B)T = BT * AT (B + C)A = BA + CA

3) Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: AA ^{− 1} = A ^{− 1}A = E

Если матрица имеет обратную матрицу то она единственная .

АЕ=>E A ^{− 1} - метод Гаусса (элементарных преобразований)

Метод союзной матрицы:

C * - союзная матрица;

(C * )T - матрица, полученная в результате транспонирования союзной матрицы;

4) Союзная (присоединенная) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы.

Д ля того чтобы квадратная матрица А имела обратную необходмо и достаточно чтобы detA не был равен 0

Связь обратной и присоединенной:

5) Решение матрич ур-й вида АХ=В с невырожденной А.

2 метода: стандартный када находим обратную матрицу и Х= A ^{− 1} В и када из (A|B) получаем (E|B1) где B1 решение.

Ax=b,x=A^-1b,A^-1= (a_ij), (a_ij) = A_ji/detA,где A_ji алгебраическое дополнение. X1 =(A₁₁b₁+A₂₁b₂ +…+A_n1b_n)/detA где числитель представляет собой разложение по первому столбцу матрицу А у которой вместо первого столбца стоит матрица столбец свободных членов. X_j = ^j/detA, j = 1,n.

7) Минор матрицы A ― определитель матрицы, элементы которой стоят в данной прямоугольной матрице Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка

Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю.

Для того чтобы квадратная матрица была не вырожденной необходимо и достаточно чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы.

8) столбцы(строки) базисного минора явл. Линейно независимыми, все остальные не входящие в него явл их линейными комбинациями базисных.

9) Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц.

Элементарными преобразованиями строк называют:

перестановка местами любых двух строк матрицы;

умножение любой строки матрицы на константу , ;

прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу

Для нахождения ранга матрицы необходимо произвести такие преобразования, чтобы ранг легко вычислялся.

11) Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Ступенчатая матрица – Матрица, для любой строки котрой выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими нулевыми все элементы равны 0.

Обратная матрица существует если её определитель не равен 0.

Критерий Кронекера-Каппели (критерий совместности)- Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.

Система m линейных уравнений - с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме :

a 11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1, (1)

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.

Система однородна если свободные члены равны 0; иначе система не однородна..

Теорема о о структуре общего решения однородной сис-мы - если x1,…,xk – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ax=0 то любое ее решение можно представить в виде x = c1x1+..+ckxk где с1..ск некоторые постоянные.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Теорема о о структуре общего решения неоднородной сис-мы - если x1,…,xk – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ax=0 и x0 – её частное решение, то любое ее решение можно представить в виде x = x0+ c1x1+..+ckxk где с1..ск некоторые постоянные.

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Крамеровские СЛАУ — квадратные системы линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Ф ормулы Крамера: -