Шпаргалка по теории ФОЭ, страница 4

Грубая -ячейка состоит из элементарных ячеек, число которых в ней равно

Неравновесное состояние эл. газа характеризуется набором значений чисел … … , являющихся числами эл-ов , находящихся в грубых ε-ячейках. Заданием чисел нельзя однозначно охаракт. истинное сост-е эл. газа, т.к., зная только числа эл-ов , попавших в -ячейки, нельзя сказать, какие именно из элемент. ячеек грубой -ячейки заняты эл-ми, а какие свободные. Макроскопическому сост-ю эл. газа, заданному набором значений чисел … Nε … , соотв. мн-во микроскопических сост-й газа, каждое из которых может быть реализовано числом микроскопических состояний - термодинамическая вероятность. Числа … … удовл. усл-ю неизменности полного числа частиц в газе где – полное число эл-ов в газе, и усл-ю неизменности полной эн-и газа где – полная эн-я газа. При подсчёте надо учитывать, что эл-ы неразличимы и они подчиняются

“принципу запрета Паули”: …

По формуле Стирлинга справедливой при больших , получим Чтобы найти равновесное состояние газа, воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа , где и - неопределенные мн-ли; этому усл-ю должны удовл. произв. вариации чисел около их зн-й для равновес. сост-я, не связанные никакими усл-ми. Подставляя в вариационное условие Лагранжа в , получим

Необх. и дост. усл-я выполнения вариац. усл-я:

Разрешая относительно получаем В итоге формула для чисел эл-ов, находящихся в грубых ячейках в случае равновес. сост-я эл. газа: . Согласно Лагранжу зн-я α и β найдем из условий:

Пусть теперь газ совершает некоторый квазиравновесный, или обратимый процесс. Каждым мгновенным внешним усл-ям соответствует своё равновесное сост-е газа в этом процессе. Проведём бесконечно малый элемент изохорного процесса нагревания газа, в котором изм. полная эн-я газа и полное число эл-в , но не изм. его объём .

Газ может обмениваться с окружением не только мех. работой и теплом, но также и эл-ми. Т.к. по Больцману энтропия равновесного сост-я в которой – макс. зн-е , то где , – изм. полного числа эл-ов и полной эн-и эл. газа. Формулу dS сопоставим с термодинам. формулой , причём – эн-я газа, – хим. потенциал в расчёте на один эл-н. Для элемента изохор. процесса и поэтому Статистика и термодин. должны давать одну и ту же формулу. Поэтому, сравнивая друг с другом обе выведенные формулы для так что , . В итоге для распр-я эл-в по грубым ε-ячейкам в равновес. сост-и эл. газа с температурой T и хим. потенциалом μ получаем формулу Вводя величину явл. ср. числом эл-ов, приходящихся в равновесном сост-и газа на одну элем. ячейку с энергией ε, получим ф-у распр-я Ферми-Дирака .

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В КУБИЧЕСКОМ ЯЩИКЕ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ БОРНА-КАРМАНА. СОБСТВЕННЫЕ Ф-ЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГИЙ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ.

Пусть в кубическом ящике с размером ребра ( ) находится изолированный электронный газ из N электронов.

Найдем стационарные состояния отдельного электрона из уравнения Шредингера

, где –энергия стационарного состояния, - волновая функция.

Пусть волновые функции заданны во всем бесконечном трехмерном пространстве, тогда по условию Борна-Кармана

Энергетические уровни задачи Борна-Кармана вырождены, поэтому рассмотрим полный набор попарно коммутирующих друг с другом операторов

, , , .

Тогда стационарные волновые функции будут решениями уравнений

где , , – собственные значения проекций импульса электрона.

Общие решения приведенных уравнений имеют вид

Для выполнения условий Борна-Кармана должны выполняться равенства

, где

Тогда решения уравнения Шредингера

Энергии приведенных стационарных волновых функция равны , в чем убедимся, подставив в , где , – лапласиан.

Одному и тому же энергетическому уровню соответствуют те собственные функции для которых имеют одинаковые значения.

ЯМА

Ф -я потенциальной эн-и

Найдем ур-е Шредингера

в области . – четная функция

может быть и четной, и нечетной. Каждое из двух типов решений можно рассмотреть только в области .

I область ,

II область , k

1 случай – четные решения

В I приведенные диф.ур. имеют независимые решения и .

По условию сшивания

,

, где

Нетривиальное решение будет при

2 случай – нечетные решения

. По аналогичным усл-м сшивания

,

1 случай

, а потому оба уравнения принимают вид

Тогда , ,

При и

.При те же решения, что и для отдельной потенциальной ямы, но каждое значение энергии двукратно вырождено.

2 случай ,

, где верхний знак для четных, нижний – для нечетных.

, которое при равно 0. , решение которого рассмотрено выше

.

.

Разложим в ряд Тейлора по малости и оставляем только нулевой и первый члены , , . .

При ямы не взаимодействуют. Когда каждое значение уменьшается и расщепляется на два.

Гомополярная связь – связь одинаковых атомов.

Энергия химической связи

Эффект расщепления энергетических уровней двух невзаимодействующих потенциальных ям на пары близких уровней объясняет и зонную структуру спектра.

Мы рассмотрели зоны для двух уровней, так как рассмотрели две ямы.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ И ГРУБЫЕ ЯЧЕЙКИ. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА. НАХОЖДЕНИЕ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА.

Пусть изолированный фотонный газ находится в не пропускающем тепло куб. ящике с зеркальными стенками объемом . Для фотона рассмотрим волновое число и напр-ми поляризации . Также как корпускула фотон имеет эн-ю и импульс – соотношение Эйнштейна и де Бройля соответственно.

Квантовые неопр-ти , , имеют порядок длины L. Тогда в силу соотношений неопр-ти , , имеют порядок . Тогда по соотношению де Бройля , , , значит .Хотя более строго величина элементарной ячейки, характ. сост-е эл-а равна . Разобьем все пр-во волновых векторов на элементар. ячейки объемом . Но с учетом поляризации одному сост-ю фотона соответствует ячейка .

Отдельная грубая ячейка – сферический шаровой слой в пр-ве волновых векторов, соответствующий , причем ячейка имеет свой индекс . Грубая ячейка имеет объем Число элементарных ячеек в грубой –ячейке .

Макроскопические неравновесные сост-я фотонного газа характ. наборами зн-й чисел фотонов, попавших в грубые ячейки Фотонный газ – система с несохраняющимся числом частиц. Термодинамическая вероятность . Чтобы ее найти, надо найти сколькими способами фотонов данной грубой -ячейки можно разместить по элементарным ячейкам. Т.к. фотоны неразличимы, то из комбинаторной задачи получим . Тогда

По формуле Стирлинга

.. Равновесное сост-е фотонного газа характ. набором чисел для которых величина максимальна. Этот максимум найдем для чисел , которые удовл. усл-ю , где -фиксированная энергия фотонного газа, одинаковая для всех его состояний.

Для нахождения равновесного состояния рассмотрим вариации чисел около равновесных состояний .

По методу неопределенных множителей Лагранжа вариационное условие .

Числа определяются из условий - необходимые и достаточные условия для вариационного условия Лагранжа. Тогда . Знач. найдем из усл-я .

Пусть равновесный фотонный газ теперь взаимодействует со своим окружением, который нагреваем изохорно в квазиравновесном процессе от температуры до . Т.к. изохора, то не меняются и числа при дифференцировании константы.

Из формулы Больцмана энтропия , где - равновесное значение термодинамической вероятности.

которую сопоставим с термодинамической формулой .

,

В итоге

,

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА. ВЫВОД БОЛЬЦМАНА. ЯЧЕЙКИ В ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТИ ОТДЕЛЬНОЙ МОЛЕКУЛЫ. ЧИСЛА ЗАПОЛНЕНИЯ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА. ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ЭНТРОПИИ.

Ячейки в пр-ве скоростей одинакового макроскопически бесконечно малого объёма Ячейка с номером характ. компонентами некоторой её центральной точки и эн-ей Числа тоже макроскопически бесконечно малы и где – ф-я распр-я частиц равновесного газа по скоростям, характеризует равновесное состояние газа и имеет физ. смысл: вероятность того,что частица газа в равновесном сост-и имеет одновременно компоненты скорости,лежащие в пределах ,аналогично для y,z.

, где - нормировочная постоянная; - объём отдельной макроскопически бесконечно малой ячейки в пр-ве скоростей. выразим через β по усл-ю нормировки: которое следует из усл-я и формулы, выраж. через функцию . Подставим в усл-е нормировки выражение : (по формуле для интеграла Пуассона: ). Найдем β:

По формуле для интеграла Пуассона дифф-ем по параметру получаем