Вопросы к экзамену по ТВ и МС

Вопросы к экзамену по ТВ и МС

1. Классическое и геометрическое определение вероятности

2. Сформулировать аксиоматическое определение Колмогорова вероятности случайного события. Доказать и сформулировать следствия из определения:
   1) P(ø)=0; 2) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB); 3) (A≤B) => P(A)≤P(B)

3. Сформулировать определение условной вероятности случайных событий и определение независимых случайных событий. Доказать теорему умножения и её следствие для независимых событий

4. Вывести формулу полной вероятности и формулу Байеса

5. Дать определение полной группы случайных событий и получить формулу Байеса

6. Сформулировать определение биномиальной схемы испытаний (схемы испытаний Бернулли). Сформулировать и доказать теорему Бернулли

7. Сформулировать определение скалярной случайной величины и доказать свойства её функции распределения

8. Сформулировать определение дискретной случайной величины, обосновать вид её функции распределения. Дать определение биномиального закона распределения и закона распределения Пуассона

9. Биномиальный закон распределения и закон распределения Пуассона

10. Сформулировать определение непрерывной случайной величины. Доказать основные свойства плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины

11. Дать определение равномерного и нормального законов распределения. Доказать свойства функции Лапласа

12. Сформулировать определение математического ожидания случайной величины и доказать его основные свойства

13. Сформулировать определение дисперсии случайной величины и доказать её основные свойства

14. Сформулировать определение n-мерного случайного вектора. Сформулировать и доказать свойства функции распределения двумерного случайного вектора

15. Сформулировать определение плотности вероятностей двумерной случайной величины и доказать её свойства

16. Вывести правило определения законов распределения компонент двумерного случайного вектора по его закону распределения

17. Сформулировать определение условного закона распределения для случайных величин. Вывести формулу для условной плотности распределения вероятностей

18. Сформулировать определение независимых случайных величин и доказать следствия о виде их совместных законов распределения

19. Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации

20. Сформулировать определение коэффициента корреляции ρ случайных величин. Доказать, что | ρ|≤1 и | ρ|=1 тогда, и только тогда, когда случайные величины линейно зависимы

21. Сформулируйте и решите задачу об определении закона распределения функции случайной величины η(ω)=φ(ξ(ω)), где ξ(ω) и η(ω) – скалярные случайные величины, а y=φ(x) – кусочно-монотонная функция

22. Нахождение закона распределения плотности вероятностей суммы двух случайных величин

23. Доказать первое и второе неравенства Чебышева

24. Сформулировать и доказать закон больших чисел в форме Чебышева

25. Сформулируйте и докажите: а) теорему Чебышева, б) теорему Бернулли

26. Сформулировать центральную предельную теорему. Сформулировать и доказать теорему Муавра-Лапласа

27. Сформулировать определение несмещённости и состоятельности точечных оценок. Показать, что является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания

28. Сформулировать основную идею метода моментов и правило его применения. Привести пример

29. Сформулировать определение доверительного интервала. Пояснить смысл доверительной вероятности. Найти доверительный интервал для среднего значения нормально распределённой случайной величины (при известной дисперсии)

30. Сформулировать определение доверительного интервала. Пояснить смысл доверительной вероятности. Найти доверительный интервал для среднего значения нормально распределённой случайной величины (при неизвестной дисперсии)

31. Изложить основную идею и обоснование метода построения доверительного интервала для дисперсии нормальной случайной величины по данным случайной выборки

32. Что называется статистической гипотезой? Изложить общую схему проверки статистических гипотез. Рассмотреть задачу проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей

33. Что называется статистической гипотезой? Изложить общую схему проверки статистических гипотез. Какие ошибки возникают при проверке статистических гипотез? Рассмотреть задачу проверки статистической гипотезы о среднем значении нормально распределённой случайной величины

34. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона

35. Понятие случайного процесса. Его математическое ожидание и ковариационная функция

36. Действие линейного оператора на случайный процесс