5sDZ1_v24 addition (Задачи 1-6 вариант 24)

Задача 5. При помощи вольтметра, точность которого характеризуется средним квадратичным отклонением 0,2 В, произведено 10 измерений напряжения бортовой батареи. Среднее арифметическое результатов измерения, имеющих нормальный закон распределения, составляет 50,2 В. Найти интервал, который с вероятностью 0,95 “накроет” истинное значение напряжения батареи.

Решение:

По условию среднее квадратичное отклонение σ=0,2,

среднее арифметическое .

Случайная величина подчиняется нормальному распределению с параметрами U (истинное значение напряжения батареи) и , поэтому вероятность отклонения может быть точно вычислена по формуле

где Φ₀ – интеграл Лапласа.

Доверительная вероятность P=0,95.Решая уравнение

найдем t≈1,96. Таким образом

Ответ: .

Задача 6. Давление в камере контролируется двумя манометрами. Для сравнения точности этих приборов одновременно фиксируются их показания. По результатам 10 замеров выборочные оценки (в единицах шкалы приборов) оказались следующими: Используя односторонний критерий проверить при α=0,1 гипотезу о равенстве дисперсией.

Решение:

Будем считать, что случайные величины X и Y подчиняются нормальному закону распределения с параметрами (X₀;σ_x) и (Y₀;σ_y) соответственно.

Выдвинем проверяемую гипотезу H₀: σ_x=σ_y.

Конкурентная гипотеза H₁: σ_x>σ_y.

В качестве статистики возьмем величину

Z подчиняется распределению Фишера, если верна гипотеза H₀

Определим критическую область

где квантиль уровня 1-α распределения Фишера с n₁-1 и n₂-1 степенями свободы.

критическая область V_k: Z>5,35

Вычислим значение критерия

Ответ: Гипотеза о равенстве дисперсий верна с надежностью 0,99.