Задача 1-5 вариант 17, страница 2

– выборочная средняя

– выборочная дисперсия

Результаты:

<x_в> = 10.311 – выборочная средняя

σ²_в = 0.316 – выборочная дисперсия

σ_в = 0.562 - среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент вариации:

Исправленная дисперсия:

- исправленная дисперсия.

С учетом поправки Шеппарда:

Часть III.

Вычисление центральных моментов 3^его и 4^ого порядков методом произведений:

Начальные выборочные моменты:

Центральные моменты:

Коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса:

Часть IV.

Проведенный статистический анализ указывает на следующее:

1. Выборочные средняя, мода и медиана примерно равны, что является характерным для симметричных распределений.

2. Коэффициенты асимметрии и эксцесса относительно малы.

3. По гистограмме частот ‘на глаз’ видно, что удовлетворяющий данному распределению закон - нормальный.

<x_в> = 10.311 – выборочная средняя

Найдем параметры закона распределения:

Метод моментов:

Метод максимального правдоподобия:

Приравнивая к нулю частные производные по и , имеем систему:

Решение которой приводит к МП – оценкам:

Заметим, что эти оценки состоятельны, нормально распределены и асимптотически эффективны (n = 150). Эти оценки в случае нормального закона совпадают с оценками, полученными ранее методом моментов.

Интервальная оценка математического ожидания при неизвестном выборки:

Оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения .

В итоге получаем нормальный закон распределения с параметрами:

Часть V.

Вычисление теоретических частот.

Плотность закона распределения:

Сначала мы нормируем случайную величину Х, то есть переходим к величине и вычислим концы интервалов , а затем находим вероятность попадания случайной величины в этот интервал:

, где Ф(z) – функция Лапласа

Теоретические же частоты получаются простым умножением объема выборки (n = 150) на вероятность попадания Х в интервалы:

Результаты вычислений представим в виде таблицы:

Проверка гипотезы о виде распределения с помощью критерия Пирсона:

Во втором и третьем столбцах приведены значения теоретических и наблюдаемых частот соответственно, а в последнем – наблюдаемое значение критерия:

Число степеней свободы – разность числа интервалов группировки, числа независимых условий (в данном случае их два - и ) и единицы:

По уровню значимости и числу степеней свободы находим:

меньше .

Гипотеза о нормальном законе распределения верна.

11