Общий случай нагружения тонкостенного стержня, страница 2

Рис.15.6

Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тон­костенного стержня, защемленного с другим концом, действует крутящий момент (рис.15.6). В этом случае имеем:

,                                                                                                                           (15.18)

интеграл которого записывается:

.                                                                            (15.19)

Откуда имеем:

                                                                              (15.20)

Для определения C₁, C₂, C₃ и C₄ с учетом граничных условий:

при z = 0,   и  ;

при z = l,   и  ,                                                                                                  (15.21)

получим:

                                                               (15.22)

Учитывая выражения произвольных постоянных (15.22) из (15.19) и (15.20), будем иметь:

                                                                  (15.23)

Здесь shx и chx  гиперболический синус и гиперболический косинус, соответственно, аргумента x:

    .                                                                                      (15.24)

Значения гиперболических функций при заданном аргументе приводятся в таблице 12.7.

В заключении, учитывая (15.23) и выражения усилий из таблицы 15.1, окончательно получим:

                                                                                            (15.25)

Заметим, что существует полная аналогия в основных зависи­мостях теории стесненного кручения стержней открытого и замк­нутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и сектори­альных геометрических характеристик сечений  , J_ и т.д., на обобщенные величины  ,   и т.д., для замкнутого профиля.

При этом, главная обобщенная секториальная координата  , для замкнутого профиля (рис.15.7), определяется:

Рис.15.7

где   сектори­альная координата, вычисляемая по аналогии теории стержня от­крытого профиля; r  длина пер­пендикуляра, опущенного из по­люса А, взятого внутри контура, на касательную к контуру;   параметр, условно на­зываемый «средним радиусом» замкнутого контура;   удвоенная площадь, охваченная срединной линией контура s;  приведенная длина дуги данной точки контура.

Главный обобщенный секториальный момент сечения   и секториальный статический момент   для замкнутого контура определяются по формулам:

   ,

где     .