Контрольная по Котину моя (Всё по контрольным работам)

Контрольная работа по курсу: «Управление в биологических и медицинских системах» (Часть 1)

Студентка группы БМТ1-71:

Магай Т. А.

Переходные процессы в физических системах.

Переходные процессы в системе второго порядка.

Случай2. Недодемпфированная система.

Случай 2. Недодемпфированная система (0<ζ<1).

Если 0<ζ<1, то корни характеристического уравнения являются комплексными и сопряженными. Формулы этих корней удобно переписать в следующем виде

(1)

(2)

где ω = ω_n(1 —ζ²)^1/2

Из табл. 3 следует, что такие корни характеристического уравнения соответствуют гармоническим колебаниям с экспоненциально затухающей амплитудой.

Посмотрим, как можно прийти к такому заключению с помощью формулы (3).

(3)

Подстановка (1) и (2) в (3) дает

(4)

Решение уравнения свободного движения и устойчивость

Вынесем e^{- ζω}_n^t в правой части этого уравнения за скобку:

(5)

Выражение (6) можно переписать в следующем виде:

(6)

Воспользовавшись теперь в уравнении (6) формулами Эйлера, получим

(7)

где В₁ и В₂ выражаются через А₁ и А₂ следующим образом:

В₁≡ А₁+ А₂ (8)

В₂≡i(А₁ - А₂) (9)

Наконец, выполним операции, указанные в формулах (8) и (9), над коэффициентами уравнения (5) и получим искомое выражение

(10)

Интерпретировать выражение (10) проще, если ввести новую постоянную, равную {1+[ζ/(1—ζ²)^1/2]²}^1/2=1/(1—ζ²)^1/2 и угловой параметр φ(—π<φ≤π) такой, что cosφ=(1—ζ²)^1/2.

Воспользовавшись этими обозначениями, мы можем переписать выражение (10) в следующем виде:

(11)

Очевидно, что выражение (11) описывает гармоническое колебание с угловой частотой ω и с убывающей по экспоненте огибающей с постоянной времени 1/ζω_n..

График выражения (11) показан на фиг. 1 для нескольких значений ζ.

Заметим, что при ζ=0 выражения (10) и (11) сводятся к (12), описывающему случай гармонического осциллятора

(12)

Фиг. 1. Переходные процессы в системах второго порядка.

2