Контрольная Котина Сеняши (Всё по контрольным работам)

Контрольная работа по курсу: «Управление в биологических и медицинских системах» (Часть 1)

Студента группы БМТ1-71:

Зуева А. А.

Математический аппарат исследования линейных физических систем с сосредоточенными параметрами.

Решение дифференциального уравнения.

Решение уравнения свободного движения и устойчивость.

Один из важнейших вопросов, волнующих инженеров, связан с выяснением устойчивости системы. Система называется устойчивой, если ее выходной сигнал при отсутствии входного всегда возвращается к нулю.

Если на вход такой системы подается сигнал конечной длительности (например, один импульс), то ее выходной сигнал также будет иметь, в определенном смысле, конечную длительность, а именно при t→∞этот выходной сигнал будет спадать до нуля, так что при достаточно большом t он будет пренебрежимо мал.

Если же импульсное воздействие подать на вход неустойчивой системы, то, наоборот, выходной сигнал при сколь угодно больших t будет либо сохранять некоторое постоянное значение, отличное от нуля, либо непрерывно колебаться с постоянной амплитудой, либо даже неограниченно возрастать (с колебаниями или без них) до тех пор, пока это не приведет к выходу системы из строя.

В связи с этим становится ясно, почему инженеры стремятся к тому, чтобы конструируемые ими системы были устойчивыми.

На языке математики условия устойчивости системы формулируются крайне просто:

система устойчива, если общее решение соответствующего ей однородного уравнения, т.е. уравнения свободного движения (1), имеет характер переходного процесса, т.е. если решение этого однородного уравнения действительно оказывается затухающим. Как уже отмечалось, решение, соответствующее свободному движению, можно рассматривать как реакцию на некоторый сигнал конечной длительности, например на импульс.

Но решение однородного уравнения будет иметь характер переходного процесса только в том случае, когда все корни характеристического уравнения {т. е. все полюсы передаточной функции) имеют отрицательные вещественные части.

Посмотрим, как можно прийти к такому выводу

Мы уже описали вид решения однородного уравнения в формулах (2) и (3) и установили связь этих решений с корнями характеристического уравнения (4). Вообще говоря, эти корни, или нули, могут быть вещественными, чисто мнимыми или комплексными числами, причем последние охватывают остальные два типа как частные случаи. Поэтому напомним, что комплексным числом s называется число

(5)

где вещественное число α называется его вещественной частью, вещественное число ω — его мнимой частью, a i≡(—1)^1/2 . Если ω=0, то s=α, т. е. вещественному числу; если α= 0, то s=iω, т. е. чисто мнимому числу; если же α=0 и ω=0, то и s=0.

Выясним, как выглядят различные члены решения однородного уравнения для различных типов корней характеристического уравнения.

На каждый однократный (встречающийся только один раз) вещественный корень, скажем α₁, в выражении для решения однородного уравнения приходится один член типа затухающей экспоненты, Се^-α1t если этот корень отрицателен, один член типа возрастающей экспоненты, Се^α1t, если этот корень положителен, или некоторая постоянная Ce^0t=С, если этот корень равен нулю. Только первый из этих трех случаев соответствует переходному процессу.

Чисто мнимые корни всегда встречаются сопряженными парами, т. е. ± iω. На каждую такую однократную пару, скажем ± iω₁, в выражении для решения однородного уравнения приходится пара членов

(6)

С помощью методов, которые не обязательно здесь рассматривать, можно показать, что такой паре экспоненциальных членов с чисто мнимыми показателями соответствуют гармонические колебания с постоянной амплитудой и постоянной угловой частотой Acos ω₁t или Asin ω₁t.

Таким образом, наличие чисто мнимых корней приводит к появлению в формуле для свободного движения колебательных членов с постоянной амплитудой. Такие члены не могут описывать переходный процесс

Комплексные корни также встречаются только сопряженными парами вида α±iω . На каждую такую одно­кратную пару, скажем α₁± iω₁ в выражении для решения однородного уравнения приходится пара членов вида

(7)

Если вынести за скобку общий для этих двух слагаемых множитель е^α1t, то получим выражение,

(8)

характер которого очевиден.

Действительно, нам уже известно, что выражение в скобках соответствует гармоническому колебанию с постоянной амплитудой и что е^-α1t— затухающая экспонента, если α₁ отрицательно, и возрастающая экспонента, если α₁ положительно.

Отсюда, вычисляя произведения этих двух множителей, получим, что каждой однократной паре комплексно-сопряженных корней соответствует гармоническое колебание с угловой частотой ω₁ и амплитудой, возрастающей по экспоненциальному закону, если α₁ положительно, и убывающей по экспоненциальному закону, если α₁ отрицательно.

Последний случай соответствует переходному процессу,

первый же соответствует нарастающим колебаниям в системе, приводящим, в конце концов, к ее разрушению.

Наконец, нам осталось еще рассмотреть влияние повторяющихся (равных, или «кратных») корней.

Ключ к исследованию этого случая содержится в выражении для видоизмененного экспоненциального члена из уравнения (3).

В соответствии с этим уравнением для каждого кратного корня, скажем r₁ соответствующий экспоненциальный член в выражении для решения однородного уравнения нужно умножить на коэффициент (C₁+C₂t+……… + C_k t^k+1), где к — кратность этого корня.

С точки зрения анализа устойчивости важно только одно: наличие кратного корня в нуле приводит к появлению возрастающих членов (C₂t + . . + C_kt^k-1), а наличие кратных чисто мнимых корней — к появлению колебаний с возрастающей амплитудой.

Случай кратных отрицательных вещественных корней или случай кратных комплексных корней с отрицательными вещественными частями по-прежнему соответствует наличию переходного процесса, так как можно показать, что

• lim t^ke^-αt = 0.

• t →∞

В табл. 3 перечислены различные типы членов, встречающихся в решении однородного уравнения для корней характеристического уравнения различного типа.

В среднем столбце этой таблицы графически показано положение корней характеристического уравнения на плоскости комплексных чисел, или s-плоскости.

На этой плоскости комплексные числа изображаются в прямоугольной системе координат, в которой вещественные числа откладываются по горизонтальной оси, а мнимые — по вертикальной.

Используя понятие s-плоскости, мы можем сказать, что все корни характеристического уравнения некоторой устойчивой системы лежат слева от оси мнимых чисел, т. е. в левой полуплоскости.

3