Задание 1 2006 (Условия домашних заданий)

Задание № 1 по курсу ОВФПБО (2005-2006 уч. г.).

I. Излучение и поглощение электромагнитных волн.

1. Сферическая частица поглощает все падающее на нее электромагнитное излучение. Определить радиус частицы, при котором сила притяжения ее Солнцем будет уравновешена силой светового давления солнечного излучения. Поток излучения Солнца W = 4∙10²⁶ Вт, плотность частицы ρ = 1 г/см³, масса Солнца М = 1,9∙10³⁰ кг, гравитационная постоянная γ = 6,7∙10^-11 Н∙м²/кг².

2. На неподвижное идеальное плоское зеркало массы m₀ нормально к его поверхности падает квазиплоская электромагнитная волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала. Сформулировать условие эффективного «разгона» зеркала и объяснить основную трудность создания фотонной ракеты. Энергия падающей на зеркало волны W_0.

3. Найти концентрацию свободных электронов в ионосфере, если для радиоволн с частотой ν = 100 МГц можно принять величину показателя преломления n = 0,9. Газ свободных электронов в ионосфере можно считать сильно разреженным, так что их взаимодействием между собой можно пренебречь. Поглощение, не связанное с дисперсионными свойствами электронного газа, можно не учитывать, т.е. можно использовать соотношение между диэлектрической проницаемостью ε и показателем преломления n = . Почему в этом соотношении учитывается воздействие электромагнитной волны на электроны, но не учитывается – на ионы, хотя концентрацию ионов и электронов можно считать примерно одинаковой (ионосфера представляет собой пример разреженной плазмы, существующей в естественном состоянии)? Масса электрона m = 9,1∙10^-31 кг, заряд e = 1,6∙10^-19 Кл, диэлектрическая постоянная вакуума ε₀ =8,85∙10^-12 Ф/м.

4. Пучок монохроматического света проходит через две плоскопараллельные пластинки из одинакового слабо поглощающего вещества с различными толщинами d₁ и d₂ (d₁< d₂). Полагая, что свет падает на поверхность каждой пластинки нормально, найти показатель поглощения этого вещества, пренебрегая рассеянием. Коэффициенты пропускания для пластинок d₁ и d₂ равны соответственно τ₁ и τ₂ ( τ₂ < τ₁<1). Рассеянием и вторичными отражениями от граней пластинки пренебречь.

5. Излучение Солнца по спектральному составу близко к излучению черного тела с максимумом испускательной способности на длине волны λ_m = 0,48 мкм. Найти массу, ежесекундно теряемую Солнцем за счет этого излучения и оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1%. Эффективный радиус Солнца принять равным R₀ = 6,95∙10⁸ м, исходную массу Солнца взять из задачи 1, постоянные Стефана-Больцмана и Вина равны соответственно σ = 5,67∙10^-8 Вт/м²∙К⁴ и b = 2,89∙10^-3 м∙К.

6. Радиационная температура видимой поверхности Солнца Т₀ ≈ 6000 К. Полагая, что и Землю, и Солнце можно описывать как черные тела, а Земля находится в состоянии теплового равновесия, оценить ее поверхностную температуру. Эффективный радиус Солнца R₀ взять из задачи 5, расстояние от Земли до Солнца принять равным R ≈ 1,5∙10¹¹ м. Влиянием атмосферы Земли пренебречь.

7. Вселенная, возраст которой можно оценить в t₁ ≈ 10¹⁰ лет, заполнена равновесным реликтовым излучением, температура которого в настоящее время составляет Т₁ ≈ 3 К. Согласно гипотезе расширяющейся Вселенной, в период образования нейтральных атомов температура реликтового излучения составляла Т₀ ≈ 3000 К. После этого можно считать, что взаимодействие излучения с веществом во Вселенной стало настолько малым, что процесс дальнейшего расширения Вселенной можно считать аналогичным как для вещества, так и для излучения. Оценить возраст Вселенной t₀ к началу периода образования нейтральных атомов. Скорость линейного расширения Вселенной считать постоянной.

8. В настоящее время суммарная мощность всех промышленных источников энергии на Земле составляет Р ≈ 10¹³ Вт, тогда как средняя мощность солнечного излучения, поступающая на Землю, составляет W ≈ 10¹⁷ Вт. К какому перегреву ΔΤ поверхности Земли приводят промышленные источники? Оценить максимальное значение Р_max, если предельный перегрев, допустимый из экологических соображений, составляет 0,1 К.

9. Слой вещества поглощает практически все фотоны солнечного спектра с энергией W ≥ 12 эВ и полностью прозрачен для фотонов с меньшей энергией. Оценить, какую долю солнечной энергии поглощает вещество, если спектр Солнца можно считать описывающимся формулой Планка при Т ≈ 6000 К.

10. Электромагнитная волна падает на гигантскую биомолекулу, которую можно представить в виде периодической одномерной структуры (цепочки), содержащей в одной ячейке два разноименных однозарядных иона. Расстояние между ионами а, жесткость связей между ними χ, массы ионов m₁ и m₂. Электрический вектор возбуждающей электромагнитной волны с циклической частотой ω ориентирован вдоль цепочки. Найти поляризуемость α (ω) биомолекулы в расчете на одну на элементарную ячейку. Заряд электрона e.

11. Согласно квантовым представлениям, гармонический осциллятор с массой m и собственной частотой ν₀ обладает в основном состоянии энергией W₀ = с нормированной собственной функцией где x – смещение от положения равновесия, - амплитуда колебаний осциллятора. Вычислить среднее значение и дисперсию . Показать, что в предположении о возможности точного измерения энергии W₀ можно получить из соотношения неопределенностей .

II. Первичные взаимодействия.

1. Определить массу, энергию и импульс фотонов излучения: красного (λ= 700 нм), фиолетового (λ= 400 нм), рентгеновского (λ= 0,05 нм).

1. Какова длина волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, движущегося со скоростью 10⁴ км/с? Какова должна быть энергия фотона, если предположить, что его масса равна массе покоя электрона?

1. Может ли свободный электрон поглотить или испустить фотон? Проверить это с помощью законов сохранения энергии и импульса.

1. Фотон с длиной волны 0,6 нм рассеялся под прямым углом на покоящемся электроне. Найти частоту рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

1. Если допустить, что масса покоя фотона m_γ ≠ 0, то скорость электромагнитных волн в вакууме должна зависеть от длины волны λ. В этом случае при измерении больших расстояний локационным методом обнаружится разница измеряемых величин при использовании излучения разных длин волн. При измерении среднего расстояния между Землей и Луной (L = 3,8· 10⁵ км) в оптическом диапазоне и при λ₁ = 20 см никаких отличий, означающих зависимость скорости электромагнитных волн от длины волны, не было обнаружено. Точность измерений определялась в основном неровностями лунной поверхности δℓ = ± 100 м. Оценить возможную верхнюю границу значений массы покоя фотона.

1. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с дебройлевскими длинами волн λ₁ и λ₂. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра масс.

1. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся атомом водорода один из них мог бы испустить фотон? До соударения оба атома находятся в основном состоянии.

Постоянная Ридберга для электрона равна R = 2,07 · 10¹⁶ с^-1, постоянная Планка h = 6,62 · 10^-34 Дж·с.

1. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее расстояние его от ядра. Значения массы и заряда электрона, а также диэлектрической постоянной вакуума взять из условия задачи № 3 раздела 1. Постоянную Планка взять из предыдущей задачи.

1. Модель атома, в которой предполагается, что электрон – это заряженная материальная точка, но устойчивое состояние электрона при обращении его вокруг ядра возможно только при выполнении условия квантования момента импульса (n = 1,2,3…), называется квазиклассической. Определить в квазиклассическом приближении циклическую частоту обращения электрона вокруг ядра атома гелия (n = 2). Заряд ядра гелия Z = 2. Постоянную Ридберга взять из условия задачи № 7 настоящего раздела.