a (Раздаточные материалы)

1. Функциональная блок-схема системы автоматического регулирования.

Тип системы «А»: Автоматический следящий привод с аналоговым регулятором и коррекцией последовательного типа.

Для перемещения сварочной головки на заданное расстояние на вход системы подается текущее значение координаты сварного шва. Разница этого значения и фактического значения координаты сварочной головки из цепи обратной связи (отработанный сигнал) проходит датчик положения и преобразуется в напряжение. Оно подается на предварительный усилитель. Далее сигнал корректируется, чтобы добиться желаемого качества системы. Затем сигнал усиливается усилителем мощности. Усиленный сигнал подается на двигатель, в результате чего ротор двигателя начинает вращаться и приводит в движение (через редуктор, преобразующий вращательное движение ротора двигателя в поступательное движение сварочной головки) сварочную головку.

1. Неизменяемая часть системы:

Математическая модель дaтчика положения сварочной головки:

, (1)

где: - напряжение на выходе датчика положения [В];

- коэффициент передачи датчика положения [В/мм];

- текущее значение координаты сварного шва [мм];

- фактическое значение координаты сварочной головки [мм];

- отклонение координаты сварочной головки от её требуемого положения, ошибка позиционирования [мм].

Математическая модель предварительного усилителя:

, (2)

где: - напряжение на выходе предварительного усилителя [В];

- коэффициент усиления предварительного усилителя [ед];

- напряжение на выходе датчика положения СГ [В].

Математическая модель усилителя мощности:

, (3)

где: - напряжение на выходе усилителя мощности [В];

- коэффициент усиления усилителя мощности [ед];

- постоянная времени усилителя мощности [с];

- напряжение на входе усилителя мощности (на выходе предварительного усилителя) [B].

Математическая модель исполнительного двигателя:

, , (4)

где: - электромеханическая постоянная времени двигателя [c];

- коэффициент передачи двигателя [paд/c B];

- угловая скорость вращения ротора двигателя [paд/c];

- мгновенное значение угла поворота ротора двигателя [paд].

Математическая модель рeдуктopа:

, (5)

где: - коэффициент передачи редуктора[мм/рад];

- линейное перемещение головки сварочного автомата [мм];

1. Система дифференциальных уравнений элементов системы.

Работа схемы описывается системой:

(6)

Выразим из первого и второго уравнений системы (6):

.

Тогда система примет вид:

(7)

1. Передаточные функции элементов системы

Для перехода к описанию элементов системы с помощью передаточных функций необходимо перейти к изображениям, воспользовавшись преобразованием Лапласа:

. (8)

Применим (8) к уравнениям (1) – (5). Запишем изображения уравнений (1) – (5)

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

, (13)

Отношение входа к выходу в уравнениях (9) – (13) представляет собой передаточную функцию.

Передаточная функция дaтчика положения сварочной головки:

Передаточная функция предварительного усилителя:

Передаточная функция усилителя мощности:

Передаточная функция исполнительного двигателя:

Передаточная функция рeдуктopа:

1. Структурная схема системы

1. Приведем исходную структурную схему к эквивалентной – с единичной обратной связью.

1. Разомкнутая система:

Передаточная функция разомкнутой системы:

. (14)

Замкнутая система:

Передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию:

. (15)

Передаточная функция ошибки по управляющему воздействию:

(16)

1. В изображениях общее дифференциальное уравнение имеет вид:

, (17)

где - передаточная функция системы. Она представляет собой правильную несократимую дробь;

- вход системы ( );

- выход системы ( ).

Преобразуем уравнение (17):

,

,

(18)

Воспользуемся обратным (8) преобразованием Лапласа и запишем уравнение (18) в оригиналах:

. (19)

Уравнение (19) представляет собой общее дифференциальное уравнение замкнутой системы.

1. Характеристическим полиномом системы в разомкнутом или замкнутом состоянии является знаменатель соответствующей передаточной функции.

Из (14) получим характеристический полином системы в разомкнутом состоянии:

. (20)

Из (15) получим характеристический полином системы в замкнутом состоянии:

. (21)

1. Проведем анализ устойчивости системы, используя частотный логарифмический критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число пересечений логарифмической фазовой характеристикой уровня – снизу вверх при положительной логарифмической амплитудной характеристике было равно числу пересечений сверху вниз.

Из полученных графиков можно сделать вывод, что рассматриваемая замкнутая система является неустойчивой.

1. Проведем анализ статических режимов работы системы.

Установившееся значение выходной переменной системы на внешнее управляющее воздействие единичного уровня:

Установившееся значение ошибки системы на внешнее управляющее воздействие единичного уровня:

1. Передаточная функция системы имеет вид правильной несократимой дроби:

,

Перейдем от описания системы с помощью передаточной функции к модели в пространстве состояний. Введем векторы состояния X, управления U, выхода Y. Компонентами вектора контролируемых выходных переменных Y назначим выходную регулируемую переменную и рассогласование между регулируемой переменной и её требуемым, желаемым значением .

,

(22)

Применим к системе (22) обратное преобразование Лапласа и примем: , .

Тогда получим описание системы через пространство состояний:

(23)

Систему (23) можно представить в иной форме:

(24)

где – матрица Фробениуса;

;

;

.

1. Выпишем характеристический полином автоматической системы (24):

или (25)

Проведем анализ устойчивости системы, используя алгебраический критерий анализа устойчивости Рауса: для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты 1-го столбца таблицы Рауса были положительны, что эквивалентно требованию, что все коэффициенты второго столбца положительны.

Пусть полином имеет вид:

.

Таблица Рауса.

Коэфф-ты с четными индексами	а0	а2	…
Коэфф-ты с нечетными индексами	а1	а3	…
…	…	…	…

Запишем таблицу Рауса для полинома (25), с учетом числовых значений параметров:

Коэфф-ты с четными индексами	0,0301	1
Коэфф-ты с нечетными индексами	0,5	28,29
		–
		–
	–	–

Так как среди коэффициентов первого (второго) столбца есть отрицательные, то можно сделать вывод, что рассматриваемая автоматическая система неустойчива.

1. В исходных данных задано значение , которое обеспечивает заданные характеристики точности системы.

вычисляется следующим образом:

. (26)

Из (16) получается следующее выражение для :

, , ,

Следовательно необходимо добавить в систему П-регулятор с передаточной функцией .

Функция ошибки будет иметь вид:

Вывод: заданные характеристики точности системы обеспечиваются при введении звена с коэффициентом усиления, равным 1,965.

1. Проверим полученную в п. 14 систему на устойчивость. Воспользуемся частотным критерием Найквиста.

Вывод: Систему надо корректировать (сделать устойчивой и удовлетворяющей заданным динамическим характеристикам: , )

1. Проведем синтез корректирующего устройства для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии:

(30)

Введем в систему корректирующий фильтр, передаточная функция которого .

Тогда выражение (30) примет вид:

, (31)

где T – подлежащий определению параметр корректирующего фильтра.

Замкнутая система в свою очередь будет иметь вид:

Передаточная функция этой системы:

. (31)

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Так как данная система должна удовлетворять , то найдем корень характеристического уравнения который соответствует данному перерегулированию. Значение величины перерегулирования и корня характеристического уравнения связаны между собой формулой:

. (33)

Из (33) получим значение : . Подставляя в (31) найдем значение Т.

.

При этом значении Т система становится устойчивой:

Список используемой литературы.

1. Пугачев В.С. Основы автоматического управления. М., Наука, 1968.

2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования М., Наука, 1978.

3. Львов Н.С., Гладков Э.А. Автоматика и автоматизация сварочных процессов, М., Машиностроение, 1982.

9