Прикладные задачи на обыкновенные ДУ (Семинары)

Занятие 12-14. Прикладные задачи на обыкновенные ДУ.

При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка в физических задачах часто применяется метод диффернциалов, по которому приближенные соотношения между малыми приращениями величин заменяются соотношениями между их дифференциалами. Такая замена не отражается на результатах, так как дело сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Другим методом составления дифференциальных уравнений является использование физического смысла производном как скорости протекания процесса.

Пример 22. В резервуаре первоначально содержится А кг вещества, растворенного в В литрах воды. Затем каждую минуту в резервуар поступает М литров воды и вытекает N литров раствора (М > N), причем однородность раствора достигается путем перемешивания. Найти массу вещества в резервуаре через Т минут после начала процесса.

Решение. Обозначим через х(t) массу вещества в резервуаре через t минут после начала процесса и через (х + ∆х) − в момент времени (t + ∆t). Заметим, что ∆х < 0 при ∆t > 0 (т. е. раствор «обедняется»).

Пусть V(t) − объем смеси в момент t:

V(t) = B + Mt − Nt

Концентрация вещества в момент времени t равняется, очевидно, x/V. За бесконечно малый отрезок времени [t, t + ∆t] масса вещества изменяется на бесконечно малую величину ∆x, для. которой справедливо приближенное равенство

Заменяя приращения ∆х и ∆t дифференциалами dx и dt, получаем дифференциальное уравнение:

Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными и считая М > N, найдем общее решение:

Используя начальное условие х = А при t = 0, найдем частное решение:

Полагая t = T, получим ответ

Случай M = N требует отдельного рассмотрения (см. зачачу 9.195). ►

9.187. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени t если тело, нагретое до Т₀ градусов, внесено в по­мещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

9.188. Через сколько времени температура тела, нагретого до 100 ^оС, понизится до 25 °С, если температура помещения равна 20 ^оС и за первые 10 мин тело охладилось до 60 ^оС?

9.189*. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3 об/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/с?

9.190. Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

9.191*. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие определяется формулой , где h − высота уровня воды над отверстием, g − ускорение свободного падения (принять g = 10 м/с²). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 2R = 1 м и высотой H = 1,5 м через отверстие в дне диаметрам 2r = 0,05 м?

9.192*. Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды тещиной 2 м поглощается 1/3 пер­воначального светового потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.

9.193. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

9.194*. Пуля, двигаясь со скоростью v₀ = 400 м/с, пробивает стену толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену.

9.195. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин, и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько, соли останется в баке через час?

9.196. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1% первоначальной массы исходного вещества?

9.197*. В помещении цеха вместимостью 10800 м³ воздух содержит 0,12 % углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04 % углекислоты, со скоростью 1500 м³/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти объемную долю углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

9.198. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и напряжением и удовлетворяет уравнению

Найти силу тока i в момент времени t, если и = E sin ωt и i = 0 при t = 0 (L, R, E, ω − постоянные).

9.264. Найти форму гибкой однородной нерастяжимой нити с закрепленными концами, находящуюся в равновесии под действием силы тяжести, если линейная плотность нити равна q (горизонтальная проекция силы натяжения нити Н = const). Расположить нить так, чтобы вершина кривой совпадала с точкой (а, 0), где a = H/qg.

9.265. Гибкая тяжелая однородная нерастяжимая нить в положении равновесия подвергается натяжению, пропорциональному переменной площади ее поперечного сечения. Найти форму нити, если линейная плотность нити равна q (горизонтальная проекция силы натяжения нити H = const). Расположить нить так, чтобы кривая проходила через начало координат и имела в ней горизонтальную касательную.

9.266. Тело массы т движется прямолинейно под действием постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

9.267*. Мяч массы 400 г падает с высоты 16,7 м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости мяча и равно 0,0048 Н при скорости 1 м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять g = 10 м/с².

9.268. Тело массы т поднимается вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Полагая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости тела (коэффициент пропорциональности k > 0), найти высоту подъ­ема тела и скорость, с которой оно вернется в исходное положение, а также время подъема и спуска тела.

9.269*. Мяч массы 400 г брошен вверх со скоростью 20 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости мяча (коэффициент пропорциональности k > 0), причем оно равно 0,0048 Н при скорости 1 м/с. Принять g = 10 м/с².

9.270. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы т под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра (коэффициент пропорциональности k > 0). В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние х₀.

9.271. Материальная точка массы т движется прямолинейно к неподвижному центру, притягивающему ее с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от центра (коэффициент пропорциональности k > 0). Найти закон движения, если оно начинается с состояния покоя, когда точка отстоит от центра на расстояние х₀. Определить время, по истечении которого точка достигнет центра.

9.272. Ракета движется вертикально вверх под действием силы отдачи от истечения газов. Масса ракеты изменяется в зависимости от времени по закону m = m₀φ(t), где m₀ = const (закон сгорания топлива). Относительная скорость истечения газов постоянна и равна u₀. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. Найти высоту подъема ракеты как функцию времени, если сопротивление воздуха не учитывается. Рассмотреть также частный случай, когда m = m₀(1 − αt), и вычислить для этого случая, на какую высоту поднимается ракета через 10 с, 30 с и 50 с при u₀ = 2000 м/с и α = 0,01 с⁻¹. Положить g = 9,8 м/с².

9.273. Определить, через сколько времени упадет на Землю тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с ускорением, обратно пропорциональным квадрату расстояния между ними), если в начальный момент скорость тела равна нулю, а расстояние его от центра Земли равно Н. Сопротивлением атмосферы пренебречь. Уско­рение свободного падения на поверхности Земли постоянно и равно g.