АНАЛИЗ КОВАРИАЦИОННЫЙ (Архив неизвестных курсачей)

 АНАЛИЗ КОВАРИАЦИОННЫЙ

– сово­купность методов математич. статистики, отно­сящихся к анализу моделей зависимости среднего значения нек-рой случайной величины Y от набора неколичественных факторов F и одновременно от набора количественных факторов X. По отношению к Y переменные X наз. сопутствую­щими; факторы  F задают сочетания условий качественной природы, при к-рых получены на­блюдения Y и X, и описываются с помощью т.н. индикаторных переменных; среди сопутствую­щих и индикаторных переменных могут быть как случайные, так и неслучайные (контролируемые в эксперименте); если случайная величина   у является вектором (см.), то говорят г, «ил... ном А.к. Основные теоретич. и прикладные пробле­мы А.к. относятся к линейным моделям В частности, если анализируются п наблюдений Y₂,...,Y_n с р сопутствующими переменными (х = (х⁽¹⁾, ..., х^(р))), k возможными типами усло­вий эксперимента (F = (f1, … , fk)), то линейная модель  соответствующего А.к. задается уравне­нием:

,

где i=1,…, n, индикаторные переменные f_ij равны 1, если j-e условие эксперимента имело место при наблюдении Y_i, и равны 0 в ином слу­чае. (f_ij) могут соответствовать рез-там дихотомизации номинального признака F с градация­ми f₁,..., f_k (см. Признак); номинальный же при­знак  может быть сложным: каждой его града­ции может отвечать сочетание значений нек-рых первичных, напр, взятых из анкеты, признаков; коэффициенты Θ_j определяют эффект  влияния j-ro условия;  – значение  сопутствующей пе­ременной x^(s), при к-ром получено наблюдение  Y_i, i=1,..., n; s=1,…, Р; β_s(f_i) – значения соответствующих коэффициентов регрессии Y по x^(s) (см. Анализ регрессионный;  Корреляция) , вообще говоря, зависящие от конкретного соче­тания условий эксперимента, т. е. от вектора f_i=(f_i1,…f_iz); ε_j(f_i) – случайные ошибки,  имею­щие нулевые средние значения. Основное назначение А.к. – использование в построении статистич. оценок (см. Оценивание статистическое) Θ₁,…,Θ_k; β₁,…,β_p и стати­стич. критериев для проверки различных гипотез относительно значений этих параметров. Если в модели (1) постулировать априори β₁=…=β_p=0, то получится модель анализа дисперсионного (см.); если из (1) исключить влияние  неколиче­ственных факторов (положить Θ₁=…=Θ_k=0), то получится модель анализа регрессионного (см.). Своим названием А.к. обязан тому обстоятельст­ву, что в его вычислениях используются разбие­ния ковариации (см. Показатели   корреляции) величин Y и X точно так же, как в дисперсион­ном анализе используются разбиения суммы квадратов отклонений Y. Лит.: Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный  статистический анализ  и временные ряды. М., 1976; Шеффе Г. Дисперсионный анализ.  М., 1980. С.А. Айвазян

 КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

(analysis of covariance) К. а. - тесно связанный с дисперсионным анализом статистический метод,  в к-ром зависимая переменная  статистически корректируется на основе связанной с ней дополнительной информ., с тем чтобы устранить вносимую извне изменчивость  и т. о. повысить эффективность  анализа. В качестве примера рассмотрим эксперим. план, в к-ром сравниваются 3 различные методики обучения арифметике. Ученики случайно распределяются по разным условиям обучения, а зависимой переменной яв-ся оценка  по стандартизованному тесту учебных достижений, проводимому в конце периода обучения. Из-за присутствующих в данной ситуации неконтролируемых источников случайной изменчивости будет нелегко доказать нулевую гипотезу об одинаковой эффективности учебных методик. Если бы даже эти методики обучения действительно были равноценными, вряд ли стоит ожидать, что среднегрупповые оценки по тесту учебных достижений будут в точности одинаковыми. Оценка по тесту достижений у каждого ученика обусловливается не только методикой обучения, но тж его способностями и множеством переменных наподобие его самочувствия в день тестирования. Чем больше таких источников вариации м. б. устранено, тем проще будет оценить эффекты методик обучения. Одним из путей уменьшения случайной изменчивости в эксперим. ситуации могло бы быть контролирование в определенных пределах интеллекта испытуемых, участвующих в исслед. Однако в К. а. эта задача  решается путем статистического контроля таких источников изменчивости. Делается допущение,  что определенную долю отклонений показателя зависимой переменной можно предсказать на основе индивидуальных оценок связанной с ней характеристики, называемой ковариатой. Напр., если мы располагаем оценками интеллекта каждого ученика, можно использовать эту информ. для корректировки показателей по тесту учебных достижений т. о., чтобы уменьшить вариацию, вызванную индивидуальными различиями в интеллектуальных способностях. Простейшая схема  вычислений основана на предположении о линейной связи между зависимой переменной и ковариатой (или ковариатами). К. а. требует соблюдения большего количества допущений, чем дисперсионный, и потому чаще используется некорректно. См. также Дисперсионный анализ,  Статистика в психологии   А. Д. Велл