3_Математические основы томографии (Раздаточные материалы)
Описание файла
Файл "3_Математические основы томографии" внутри архива находится в папке "Раздаточные материалы". Документ из архива "Раздаточные материалы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "компьютерная томография" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "компьютерная томография" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "3_Математические основы томографии"
Текст из документа "3_Математические основы томографии"
3 Математические основы томографии
3.1 Преобразование Радона и его свойства
В основе математического аппарата томографии лежит интегральная геометрия, и в первую очередь преобразование Радона. При анализе оптических томографов мы будем широко использовать свойства этого преобразования В настоящем параграфе рас
смотрим основные математические понятия интегральной геометрии, определение и свойства преобразования Радона.
Свойства преобразования Радона и формулы его обращения целесообразно рассматривать не только для двумерного случая но и для функций трех переменных, так как в последнее время появились работы, в которых исследуются функции, зависящие от большого числа параметров.
3.1.1 Определение преобразования Радона
Пусть дана функция 
, которая определена в некоторой области D. Рассмотрим некоторую прямую L на плоскости ху, пересекающую область D (рисунок 3.1). Тогда, интегрируя функцию вдоль линии L, получаем проекцию или линейный интеграл функции f. Интегрирование вдоль всех возможных линий L на плоскости позволяет определить преобразование Радона функции , т.е.:
(3.1)
г
де ds — приращение длины вдоль прямой L.
Рисунок 3.1
Преобразование Радона может быть представлено в другом виде. Запишем нормальное уравнение прямой L:
(3.2)
где р — расстояние от начала координат до прямой (Рис. 1.1), — угол между р и х. Используя выражения: 
, нетрудно записать:
(3.3)
Если функция f равна нулю вне области D, то пределы интегрирования в (3.3) могут быть конечны.
Используя векторную запись прямой на плоскости, формулу (3.2) можно представить в виде: 
(3.4)
где 
— единичный вектор вдоль оси р; 
— скалярное произведение двух векторов.
Тогда преобразование Радона может быть записано с использованием -фуикции для выделенной прямой
:
(3.5)
или с учетом (1.4):
(3.6)
При фиксированном угле проекция 
изменяется по р в направлении, определенном вектором 
. В тех случаях, когда функция 
известна только для некоторых значений р, можно говорить о выборке из преобразования Радона или луч-сумме.
Если задана функция трех переменных 
, тогда, используя векторную запись 
и единичный вектор , Можно записать уравнение плоскости интегрирования функции f : 
Преобразование Радона будет иметь следующий вид:
(3.7)
где р — расстояние от начала координат до плоскости интегрирования; — единичный вектор вдоль р, который определяет ориентацию плоскости.
В (3.7) интегрирование ведется по плоскостям, а не по прямым. (Здесь и далее, если не указаны пределы интегрирования, но оно ведется по бесконечным пределам.) Для полного задания преобразования Радона необходимо знание f для всех р и .
Рассмотрим два примера преобразования Радона конкретных функций.
-
Пусть
![]()
, тогда ![]()
Использовав ортогональное линейное преобразование: 
,
приведем 
к виду: 
, тогда 
-
Рассмотрим преобразование двумерной rect-функции, определенной формулой:
Из соображений симметрии ясно, что проекция можно рассматривать только в области изменения углов 
. Нетрудно заметить, что можно выделить три различные o6ласти определения проекций при фиксированном (Рис. 1.2, прямые 1, 2 и 3). Вычисляя длину отрезка прямой внутри области задания функции 
, можно получить значения преобразования Радона:
Рис. 1.2 Преобразование Радона двумерной rect-функции
