Новые методы оптимизации и их применение в задачах динамики управляемых систем. Часть 2 (Новые методы оптимизации и их применение в задачи динамики управляемых систем)

Dissertation Optimization 2

Министерство Высшего и среднего специального образования

РСФСР

Московский авиационный технологический

институт

К.т.н., доцент БОЛОНКИН А.А.

ЧАСТЬ 2

НОВЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

(Диссертация на соискание ученой степени

достора технических наук)

NEW METHODS OF OPTIMIZATION AND THEIR APPLICATIONS

IN PROBLEMS OF DYNAMIC AND CONTROL SYSTEMS

(Thesis of next Ph.D.)

г. Москва

1969 г.

Содержание:

Абстракт

Предисловие
Содержание диссертации

Абстракт

Настоящая диссертация состоит из двух частей. Первая часть посвящена математическим основам новых методов оптимизации, вторая часть – примеры и приложения этих методов к ряду технических задач.

В отличие от классической постановки задачи оптимизации:

а) Дан ункционал. Требуется найти его абсолютную минималь.
Эта задача в подавляющем большинстве случаев очень трудна и чаще всего неразрешима.

Поэтому в первой части рассматриваются также иные постановки задач:

б) Найти более «узкое» подмножество, содержащее абсолютную минималь.

в) Найти подмножество решений лучших, чем данное.

г) Найти оценки снизу данного функционала.

В настоящее время большинство исследователей, работающих в области оптимизации, заняты решением задачи в традиционной (классической) постановке – отысканием точной минимали (задача а). Инженера же, как правило, в реальных задачах интересует подмножество квазиоптимальных решений, выбирая из которого, он заранее уверен в получении функционала не хуже заданной величины (задача в) и оценки снизу, показывающих насколько далек он от точного оптимального оптимального решения (задача г). К тому же обычно у него есть много дополнительных соображений, которые нельзя учесть в математической модели или которые бы ее сильно усложнили. Постановка задачи в форме в дает ему определенную свободу выбора. Задача г имеет и самостоятельный интерес. Если есть оценка снизу, близкая к точной нижней грани функционала, то задачу оптимизации часто можно решить подбором квазиоптимального решения. Задача же б может существенно облекчить решение любой из перечисленных задач, так как сужает множество, на котором следует искать решение.

Перечисленные неклассические постановки задач потребовали новых методов решения, отличных от известных методов вариационного исчисления, принципа максимума или динамического программирования. Оказалось, что новые методы обладают значительной общностью и при попытке решить с их помощью одну из перечисленных задач можно в качестве побочного продукта получить решение другой задачи. Это может принести пользу. Так если получена хорошая оценка снизу, то, сравнивая с ней разные инженерные решения, часто удается получить решение, очень мало отличающееся от оптимального.
Излагаемый в первой части материал не сложен, но он опирается на ряд элементарных понятий и символику из теории множеств.

В диссертации принята двойная нумерация формул, теорем и рисунков. Первая цифра обзначает номер параграфа, вторая – номер формулы или теоремы в этом параграфе. Первая цифра в рисунках обозначает номер главы, вторая – номер рисунка в данной главе.

Краткое изложение (Автореферат диссертации, 28 стр.) есть в интнрнете http://viXra.org/abs/1503.0081, http://www.twirpx.com ,

Некоторые главы изложены более подробно в специальном учебном пособии «Новые методы оптимизации и их применение», Москва, Издательство МВТУ им.Баумана, 1972г., 220 стр. (См. РГБ, Российская Государственная Библиотека, Ф-801-83/869-6). http://vixra.org/abs/1504.0011 v4. , https://www.academia.edu/11054777/ Пособие содержит также большое число примеров, упражнений и задач.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕТАЦИИ

ЧАСТЬ I

Введение.

1. Краткий обзор состояния методов оптимизации и их приложения к задачам динамики управляемых систем 7

2. Краткое содержание диссертации 10

3. Некоторые замечания о диссертации 15

Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДЛАГАЕМЫХ МЕТОДОВ
ОПТИМИЗАЦИИ

Г л а в а 1. М Е Т О ДЫ β – Ф У К Ц И О Н А Л А

§1. Постановки задач. Основные теоремы. Алгоритм 1. 18

Приложения к §1:

1. Модификация Теоремы 1.1. 25

2. Метод спуска по множеству лучших решений. Алгоритм 2. 25

3. Обобщение теорем 1.1, 1.1’, 1.4 26

4. Метод β – функционала в случае ограничений типа равенств и неравенств. 27

5. Частный случай Алгоритма 1. 29

§2. Метод совмещения экстремумов. Алгоритм 3. 29
§3. Замечание о γ – функционале. 33
§4. Применение β – функционала к теории экстремумов функций конечного числа
переменных и задачам оптимизации, описываемых обыкновенными

дифференциальными уравнениями. 34

Основные результаты гл.1. 40

Г л а в а 2. М Е Т О Д Ы α – Ф У Н К Ц И О Н А ЛА
§1. Методы α – функционала. Оценки. 41

§2. Замечание о µ – функционале. 50

Приложение к §2. О построении α – функционала в случае выделения допустимого
множества при помощи двух функционалов, связанных логическими условиями. 50
§3 . Применение метода α – функционала к известным задачам оптимизации. 56

Приложение к §3 .
1. Теорема 3.1 и известные методы решения задач оптимизации, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями. 63
2. Получение из α – функционала метода «Штрафа». 66
3. Построение функции ψ путем решения интегро-дифференциального уравнения 67
§4. Метод обратной подстановки. 68

§5. Метод совмещения экстремумов в задачах условного минимума. 73

Основные результаты Гл. 2. 75

Г ла в а 3. М Е Т О Д М А К С И М И НА.

§1. Общий случай. Основные теоремы. Оценки. Уравнения Максимина. Алгоритмы 5, 5’, 5”. 77
Приложения к §1:
1. Метод Максимина для α – функционала с огранчениями типа равенств и неравенств. 81
§2. Применение метода максимина к задачам оптимизации, описываемыми обыкновенными

дифференциальными уравнениями.

а) Основная теорема Максимина. Методы редукции. Алгоритмы 6, 6’. Оценки. 82

б) Методы построения поля минималей. Сведение к уравнениям максимина в частных
производных. 86

в) Методы отыская отдельных минималей.

г) Методы условного максимина (относительно вспомогательного и относительно
основного неизвестного). 87

§3. Метод Максимина как метод оценки решений системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. 97
§4. Применение метода Максимина в исследовании устойчивости решений обыкновенных

дифференциальных уравнений. 100

Основные результаты гл.3. 103

Г л а в а 4. Ч И С Л Е Н Н А Я Р Е А Л И З А Ц И Я Н Е К О Т О Р Ы Х А Л Г О Р И Т М О В

α – Ф У Н К Ц И О Н А ЛА И М А К С И М И Н А

§1. Численная реализация метода Максимина для задач, описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями. 107

§2. Метод градиентного спуска в пространстве состояний для задач оптимизации,
описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. 111

§3. Метод спуска по допустимому множеству в задачах поиска экстремума функций
конечного числа переменных. 117
Приложение к гл.4.
Замечание о приближенных методах построения функции ψ(t, x,u). 118

Основные результаты гл. 4. 119

Г л а в а 5. И М П У Л Ь С Н Ы Е Р Е Ж И М Ы
§1. Постановка задачи. Основные определения. 120
§2. Случаи «фиксированных» и «плавающих» импульсов 124

§3. Методы отыскания минимали в случае фиксированных и плавающих импульсов 129

§4. Методы отыскания минимали в случае распределенных импульсов 134

Приложение к гл. 5. Задача о наивыгоднейшей форме воздушного тормоза 139

Основные результаты гл. 5.

140

ЧАСТЬ II

Г л а в а 6. С П Е Ц И А Л Ь Н Ы Е Э К С Т Р Е М А Л И В З А Д А Ч А Х
О П Т И М А Л Ь Н О Г О У П Р А В Л Е Н И Я

§1. Введение 142

§2. Особые экстремали 144

Приложение к §2.
1. Случай простой особенности 165

2. Особые поверхности в системах 2-го и 3-го порядков 166

3. Синтез 3-х систем 2-го и 3-го порядков 167

4. Системы n –го порядка специального вида. Условия инвариантности. 170

§3. Метод преобразования в особых экстремалях 171

§4. Случай общих связей 181

Приложение к §4. 185

§5. Замечание об изучении особых экстремалей при помощи уравнений в частных

производных 187

§6. Скользящие режимы как частный случай особых экстремалей 190

Основные результаты гл.6. 198

Глава 7. С П Е Ц И А Л Ь Н Ы Е Э К С Т Р Е М А Л И И Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь

К Р А Е В Ы Х З А Д А Ч О П Т И М А Л Ь Н О Г О У П Р А В Л Е Н И Я

§1. Введение 203

§2. Существование специальных режимов – главная причина невозможности решить многие

краевые задачи в рамках прежних методов 205

§3. Сопряженные точки – источник местных «ям» и ложных решений 209

§4. Некоторые рекомендации 212

Основные результаты гл.7 214

Часть II. П Р И Л О Ж Е Н И Е М Е Т О Д О В ч а с т и I К Т Е Х Н И Ч Е С К И М

З А Д А Ч А М

Глава 8. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И А В Т О М А Т И К И

I. З А Д А Ч И, Р Е Ш А Е М Ы Е М Е Т О Д О М М А К С И М И Н А

И β - Ф У Н К Ц И О Н А Л А

§1. Задача минимизации энергии сигнала 216

§2. Задача линейная относительно фазовых координат и нелинейная относительно управлений 218

§3. Задача о точном регулировании. Задача о минимуме расхода топлива 221

Основные результаты 222

II. О С О Б Ы Е Р Е Ш Е Н И Я В З А Д А Ч А Х А Н А Л И Т И Ч Е С К О Г О

К О Н С Т Р У И Р О В А Н И Я О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Р Е Г У Л Я Т О Р О В
§1. Введение. Постановка задачи. 224

§2. «Прямой» метод решения (многократный особый режим, простая особенность) 226

§3. Решение методом преобразований 232

§4. Случай сложной особенности 240

Выводы и основные результаты 246

III. З А Д А Ч А П О С Т Р О Е Н И Я П Р Е Д Е Л Ь Н О Г О Ц И К Л А И Л И

З А Д А Ч А С Т А Б И Л И З А Ц И И К О Л Е Б А Н И Й

§1. Постановка задачи. Решение задачи 246

Выводы и основные результаты 248

Глава 9. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Д И Н А М И К И П О Л Е Т А

§1. Задача о мимуме интегрального тепла при входе летательного аппарата в атмосферу 249

§2. Задача о полете на максимальную дальность ракеты (самолета) с двигателем

постоянной тяги 251

§3. Задача о полете на максимальную дальность самолета (дирижабля) с двигателем

постоянной мощности 253

Основные результаты гл.9 255

Глава 9. П Р И М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д О В Ч А С Т И I К Э К С Т Р Е М А Л Ь Н ЫМ

З А Д А Ч А М К О М Б И Н А Т О Р Н О Г О Т И П А 258

§1. Задача о назначениях (проблема выбора) 259

§2. Задача целочисленного программирования 267

§3. Задача коммивояжера 269

§4. Задача целочисленного квадратичного программирования 271

Выводы и основные результаты гл.10 273

Выводы и основные результаты диссертации 274

Литература 278

Приложение к диссертации