Лекции по физике. Электричество, страница 6

. (9)

C учетом (4) и (9) cила взаимодействия двух бесконечно длинных тонких и параллельных проводников . (10)

Пусть I₁ = I₂ = I, r₀ = 1м, l = 1м, F = Н, тогда I = 1 А. Это было строгое опреде­ление единицы силы тока - ампера.

8.3.2. Поле кругового тока

М

А

ожно показать, что магнитная индукция поля, создан­ного круговым током радиуса R, на расстоянии r₀ вдоль перпендикуляра, восстановленного из центра контура, (см. рис.5), будет (11)

В частности, в центре кругового тока ,

I

Рис. 5

. (12)

Для плоской катушки, состоящей из N, витков магнитная индукция на оси катушки

. (13)

При больших расстояниях от контура, (рис. 5), т. е. при r₀ >> R из (11) получим

(14)

Лекция 9. Магнитное поле в вакууме (продолжение)

9.1. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Поле соленоида и тороида

В третьей лекции было показано, что для электростатического поля

т

. е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна нулю. Можно показать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна алгебраи­ческой сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на ₀ , т. е.

(1)

П

Рис. 1

L

ри этом токи будем считать положительными, если они совпадают с поступательным движением правого буравчика, рукоятка которого вращается по направлению обхода контура. Для нашего случая, (см. рис. 1), это будут токи, текущие от нас и обозначенные . Токи, те­кущие в обратном

направлении, будут считаться отрицательными. Для рис. 1, это будут токи, текущие на нас и обозначенные кружком с точкой в центре кружка.

Поскольку , то магнитное поле не является потенциальным, оно называется

вихревым или соленоидальным.

Теорему о циркуляции вектора (1) называют также законом полного тока для магнитного поля в вакууме.

Применим теорему о циркуляции (1)для вычисления индукции магнитного поля со­леноида и тороида.

9.1.1. Поле соленоида

С

l

оленоидом, (см. рис. 2), называется цилиндрическая катушка, на которую вплотную намотано большое число витков провода. Пусть N - число витков вдоль длины соленоида l, тогда , где L – контур 12341

или .

Интегралы на участках 1-2, 3- 4 равны нулю, т.к. и =Bdlcosπ/2 =0;

интеграл на участ­ке 4-1 равен нулю, т.к. вне соленоида индукция равна нулю. Поэтому , отсюда B= , (2)

где n=N / l - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Поле соленоида однородно.

9.1.2. Поле тороида

Тороид (см.рис.3), представляет тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Для него

где R - радиус средней линии тора, отсюда B = (3)

Поле тороида неоднородно: оно уменьшается с увеличением r. Поле вне тороида рав­но нулю.

9.2. Магнитный поток. Теорема Гаусса

Для однородного магнитного поля, пронизывающего плоскую поверхность площади S, ( см. рис. 4 ), магнитный поток

Ф= = BScos =B_n S (4)

где = S , - нормаль к поверхности.

В

S

общем случае вводят понятие магнитного потока через ма­лую поверхность площадью dS, которую можно считать плос­кой и в пределах которой магнитное поле можно считать однородным, т. е.

dФ = d = BdS cos = B dS. (5)

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность Ф= = .

В природе нет магнитных зарядов и поэтому теорема Гаусса для магнитного потока имеет вид Ф = , (6)

т.е. магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Пусть в формуле (4) = 0 , т.е. (см. рис. 4), тогда Ф=BS . Магнитный поток в СИ измеряется в веберах - (Вб): 1Вб = 1 Тл1 м².

Поток магнитной индукции в 1Вб - это поток, пронизывающий площадку в 1 м², расположенную перпендику­лярно силовым линиям однородного магнитного поля, индукция которого равна 1Тл.

9.3. Работа перемещения проводника и рамки с током в магнитном поле

С

+

огласно закону Ампера на проводник с током, (см. р

1

2

ис. 5), в магнитном поле, направленном «на нас», д

_

ействует сила F = IlВ, которая направлена вправо. Е

сли под действием этой силы проводник перемес­тится н

а dx, то dA = Fdx = IBldx = IBdS = IdФ, где dФ=Ф₂–Ф₁, - э то изменение магнитного потока, пронизывающего контур.

Итак, работа, совершаемая магнитным полем

Рис. 5

dA=IdФ. (7)

В частности, работа при вращении контура с током в однородном мэгнитном поле, (см.рис.6). из положения 1, в котором векторы и направлены в противоположные стороны, в положение 2, в котором векторы и направлены одинаково, равна

A = I(Ф₂- Ф₁),

Ф = Ф

т.о. A=I[BS-(-BS)] = 2IBS = 2p_m B. (8)

Заметим, что работа совершалась за счет энергии

источника тока, а не за счет магнит­ного поля.

9.4. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

На элемент тока Id в магнитном поле с индукцией действует сила Ампера

d = Id . (9)

Появление этой силы связано с действием силы со стороны магнитного поля на носите­ли тока в проводнике. Покажем это. Пусть заряд носителя тока q, скорость его направленного движения v, концентрация n, тогда

I = , (10)

г де dQ = qdN - заряд в объеме проводника dV = Sdl; ndV=dN - число носителей тока в провод­нике длиной dl; d - направлено по току и совпадает со скоростью положительных зарядов. Подсталяя (10) в (9), найдем

d = qdN .

Отсюда, сила, действующая на один заряд, называемая силой Лоренца, . (11)

При наличии электрического поля сила . (12)

Это выражение называют формулой Лоренца.

М одуль магнитной составляющей силы Лоренца (11) равен :

F_Л=qvВsin, (13)

здесь - угол между направлениями векторов и .

Направление силы Лоренца для положительного заряда, движущегося со скоростью , перпендикулярно линиям , показано на рис. 8а , а направление силы Лоренца для отрица­тельного заряда изображено на рис. 8б; на рис.9 скорость , индукция коллинеарны, поэтому

Лекция 10. Магнитное поле в веществе

В предыдущих лекциях по магнетизму предполагалось, что провода, по которым текут токи, создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если несущие ток провода находятся в какой - либо среде, то магнитное поле изменяется. Объясним это явление.

10.1. Магнитные моменты атомов

О

I e

пыт показывает, что все вещества, помешенные в магнитное поле, намагничиваются. Классическая физика это объясняет сушествованием в веществе микротоков, обусловленных движением электронов в атомах и молекулах.

Д

ействительно, электрон, движущийся по круговой орбите вокруг

я

Рис. 1

дра своего атома эквивалентен круговому току, (см.рис.1), поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом

, (1)

который по модулю равен , (2)

где T - период вращения, v = 1 / T - частота вращения электрона на орбите.

Кроме того, электрон обладает собственным или спиновым магнитным моментом

(spin - верчение; о нем подробнее будем говорить в следующем семестре).

Общий магнитный момент атома равен сумме орбитальных и спиновых магнитных мо­ментов, входящих в атом электронов: . (3)

Магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше и ими обычно пренебрегают.

10.2. Намагниченность и напряженность магнитного поля

Всякое вещество является магнетиком, оно спосбно под действием внешнего магнит­ного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться. Для количественного описания намагничивания вводят вектор намагниченности, равный магнитному моменту единицы объема магнетика, т. е. , (4)

где п - число атомов (молекул), содержащихся в объеме V , - магнитный момент атомов в объеме V , - магнитный момент i - того атома.

Намагниченность, как следует из (4), в СИ измеряется в А/м. Оказывается, для несильных полей , (5)

здесь  - (хи) безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества; для вакуума и, практически, для воздуха = 0; Н - напряженность магнитного поля, кото­рая описывает магнитное поле макротоков (макро - большой). Макротоки, обычно, мы называли просто токи. Для вакуума , (6)

она измеряется в СИ в А / м.

Вектор магнитной индукции в веществе характеризует результирующее магнитное поле в веществе, создаваемое всеми макротоками и микротоками, т. е.

. (7)

С учетом (5) получаем , (8)

где (9)