Лекции по физике. Электричество, страница 5

что дает j l = ( + ). (20)

Заменив j на I/S, а на , из (20) получим I = + , откуда следует закон Ома для неоднородного участка цепи I = ( + ) / R (21)

где R = l / S - сопротивление участка цепи 12. Для замкнутой цепи формула (21) запишется в виде I = / R (22)

где R - суммарное сопротивление всей цепи; - ЭДС источника.

Пусть замкнутая цепь состоит из источника электрической энергии с ЭДС и внут­ренним сопротивлением r ,а также внешней цепи потребителя, имеющей сопротивление R. Согласно (22) I = / (R + r). (23)

Р азность потенциалов на электродах источника, рис. 5, равна напряжению на внешнем участке цепи: U = = IR = - Ir . (24)

Е сли цепь разомкнуть, то ток в ней прекратится и напряжение U на зажимах источника станет равным его ЭДС, т.е. U = .

В общем случае, напряжение на внешнем участке цепи, рис. 5, будет равно U = IR = R / (R + r). (25)

В пределе, когда R 0 (источник тока замкнут накоротко), то в этом случае, в соот­ветствии с (23), ток максимален

I = I = / r , (26)

а напряжение во внешней цепи равно нулю.

В противоположном предельном случае, R , т.е. цепь разомкнута и ток отсутствует: I=lim [ / (R+r)]=0, а напряжение на зажимах источника максимально и равно его ЭДС: U = R / (R + r)= , т. к. lim R / (R + r) = 1. (27)

5. Закон Джоуля – Ленца. Работа и мощность тока. КПД источника

Проводник нагревается, если по нему протекает электрический ток. Джоуль и Ленц установили, что количество выделившегося тепла Q = I Rt, (28)

где I - ток, R – сопротивление проводника, t - время протекания тока. Легко доказать, что

Q = I Rt = UIt = U ² t/R = qU, (29)

где q = It - электрический заряд.

Если ток изменяется со временем (т. е. в случае непостоянного тока), то

Q = = , (30)

где i – мгновенное значение тока.

Нагревание проводника происходит за счет работы, совершаемой силами электричес­кого поля над носителями заряда. Эта работа

A = qU = UIt =I Rt = U t / R . (31)

Работа А, энергия W , количество тепла Q в СИ измеряются в Дж.

Так как мощность характеризует работу, совершаемую в единицу времени, т.е. Р = , то

P = UI = I R = U / R . (32)

Мощность в СИ измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 Дж / 1 с; откуда 1 Дж = 1 Втс;

3600 Дж = 1Вт час, 3,6 •10 Дж = 1 кВт час.

Формулы (31) и (32) позволяют рассчитать полезную работу и полезную мощность. Затраченная работа и мощность определяется по формулам

A = q = It = I (R + r)t = t. (33)

P = = I = I (R + r) = . (34)

Отношение полезной работы (мощности) к затраченной характеризует КПД источника

= = = . (35)

Из (35) следует, что при R 0, 0; при R , 1.Но при R ток I 0 и поэтому А 0 и Р 0.

Определим величину R , при котором выделится максимальная мощность. Легко по­казать, что это наступает при R = r, тогда P_MAКС=I R = = , (36)

КПД в этом случае будет 50%.

6. Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме

Согласно закону Джоуля - Ленца (28) в элементарном цилиндрическом объеме dV с площадью поперечного сечения dS и длиной dl за время dt выделится тепло

dQ =I Rdt =(jdS) = j dldSdt = j dVdt.

Разделив на dV и dt, найдем количество тепла, выделяющееся в единицу времени в единице объема Q = = j . (37)

здесь Q -называется удельной тепловой мощностью тока, которая в СИ измеряется в Вт/м³.

С учетом (16) из (37) следует, что Q = j = . (38)

Формулы (37) и (38) выражают закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

7. Правила Кирхгофа

I1 I2 I3 Рис. 6

В основе расчета электрических цепей лежат два правила Кирхгофа: 1) АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА ТОКОВ, СХОДЯЩИХСЯ В УЗЛЕ, РАВНА НУЛЮ, т. е. . (39)

Току, текущему к узлу, приписывается один знак ("+" или "-"), а току, текущему от узла, - другой знак; таким образом, для направлений токов в узле электрической схемы, пред- ставленном на рис. 6, имеем .

2) В ЛЮБОМ ЗАМКНУТОМ КОНТУРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СУММА НАПРЯЖЕНИЙ НА ВСЕХ УЧАСТКАХ ЭТОГО КОНТУРА РАВНА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЕ ЭДС, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ЭТОМ КОНТУРЕ (40)

П ри этом также следует придерживаться правила знаков: токи, текущие вдоль выбран­ного направления обхода контура считаются положительными, а идущие против направле­ния обхода - отрицательными. Соответственно положительными считаются ЭДС тех источ­ников, которые вызывают ток, совпадающий по направлению с обходом контура (см. рис.7), где обозначает направление обхода контура .

П

рименим правила Кирхгофа для расчета электрической цепи, представленной на рис. 7, содержащей т = 4 узлов (a, b, c, d). Для этого нужно записать (m-1) уравнений на основании первого прави­ла Кирхгофа и еще одно уравнение для единствен­ного здесь замкнутого контура, используя второе пра­вило Кирхгофа и принимая во внимание направле­ния токов в ветвях, обхода контура и ЭДС:

,

,

,

.

Лекция 8. Магнитное поле в вакууме

8.1. Магнитный момент контура с током. Магнитная индукция

Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой, напрмер, то­ки I притягиваются, а токи I отталкиваются. Взаимодействие токов осущест­вляется через поле, которое называется магнитным. Следовательно, движущиеся заряды (токи ) изменяют свойства окружающего их пространства - создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы. Подобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный за­ряд, применим для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плос­ком замкнутом контуре очень малых размеров . Будем называть такой контур пробным кон­туром.

О риентацию его в пространстве характеризует направление нормали к контуру, восстанавливаемой по правилу правого бу­равчика: вращаем рукоятку правого буравчика по направлению то­ка в контуре, тогда направление его поступательного движения даст направление нормали (см. рис. 1). Помещая пробный контур в магнитное поле, обнаружим, что поле стремится повернуть контур (нормаль) в определен­ном направлении.

Вращающий момент, действующий на контур, зависит как от свойств магнитного поля в данной точке, так и от свойств контура. Оказывается, что максимальная величина вращающего момента пропорциональна IS, т.е. M ~ IS, где I -ток контуре, S - площадь контура с током (рис. 1). Векторную величину (1)

называют магнитным моментом контура, который в СИ измеряется в Ам².

На пробные контуры с разными р_m, помещаемыми в данную точку магнитного поля, бу­дут действовать разные по величине максимальные вращающие моменты М , но отношение М / р будет для всех контуров одинаково, оно будет являться силовой характеристикой магнитного поля, которая называется магнитной индукцией

В = М /р . (2)

Магнитная индукция есть вектор, направление которого совпадает с направлением нор­мали контура с током, свободно установившегося во внешнем магнитном поле(см.рис.2)

П оле вектора В можно представить с помощью силовых линий (см. рис. 2), как и поле вектора ; таким образом В является аналогом Е .Магнитная индукция в СИ измеря­ется в теслах: 1Тл=1Нм/1Ам². Тесла равен магнитной индукции однородного поля, в котором на плоский контур с током, который имеет магнитный момент 1Ам², действует максимальный вращающий момент, равный 1 Нм.

На контур с током, помещенный в магнитное поле с индукцией , действует вращаю­щий момент . (3)

Величина его M =

при имеем М = M = p B , при = 0 или = , M= 0.

8.2. Закон Ампера

Ампер нашел, что на элемент тока Id , помещенный в магнитное поле с индукцией , действует сила . (4)

Произведение I называют элементом тока, где - вектор, совпадающий с элементом участка тока и направленный в сторону, в которую течет ток.

8.3. Закон Био-Савара – Лапласа

Био, Савар и Лаплас установили закон, который позволяет вычислить магнитную ин дукцию поля, созданного элементом тока Id на расстоянии от него:

dB = , (5)

т

I

α

Рис. 3

А

.е. индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока Id в точке А, (см. рис. 3), на расстоянии r от него, пропорциональна ве­личине элемента тока и синусу угла , равного углу между направле­ниями элемента тока Id и , а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; Гн / м - магнитная посто­янная.

Закон Био-Савара – Лапласа в векторной форме имеет вид: d = . (6)

Закон Био-Савара – Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля любых систем токов, используя принцип суперпозиции магнитных поля = . (7)

Применим закон Био-Савара – Лапласа и принцип суперпозиции (7) к расчету магнитных полей следующих токов:

8.3.1. Поле прямого тока:

d r0 2 α1 . α rd α I Рис. 4

Из рис. 4 с учетом (6) находим, что d плоскости, в которой лежат d и ; далее можно найти ,откуда, принимая во внимание, что получаем . С учетом этого из (5) находим: интегрируя последнее равенство, получаем:

(8)

Для бесконечно длинного проводника , и из (8) следует, что