Лекции по физике. Электричество, страница 2

Площадь ее поверхности . Силовые линии электрического поля, (см. рис. 2), идут по радиусам к поверхности сферы и поэтому угол между векторами и равен нулю.

. (4)

Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения зарядов в ней.

Рассмотрим поток, создаваемый системой зарядов, сквозь замкнутую поверхность произвольной формы, внутри которой они находятся (рис.3): .

С огласно принципу суперпозиции поэтому

таким образом . (5)

Итак, мы доказали теорему Гаусса — Остроградского:

«полный поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на ».

Теорему Гаусса — Остроградского, (5), можно записать в дифференциальной форме:

, (6)

где - объемная плотность заряда.

, знак - оператор набла.

Из теоремы Гаусса — Остроградского вытекают следствия: 1) линии вектора (силовые линии) нигде, кроме зарядов, не начинаются и не заканчиваются: они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность для положительного заряда, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде (картина силовых линий приводится на рис. 4); 2) если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток через эту поверхность равен нулю; 3) если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то число входящих линий вектора напряженности равно числу выходящих и поэтому полный поток через такую поверхность равен нулю.

Теорема Гаусса позволяет рассчитать электрические поля, создаваемые заряженными телами различной формы:

2.2.1. Поле равномерно заряженной, бесконечно протяженной плоскости (рис. 5).

Построим цилиндр, ось которого перпендикулярна к поверхности, и применим теорему Гаусса-Остроградского

,

т.к. ,

то

отсюда , (7)

где  = q/S поверхностная плотность заряда, измеряемая в СИ в Кл/м².

2 .2.2. Поле между двумя бесконечно протяженными, разноименно заряженными параллельными плоскостями, (см. рис. 6). Вне внутреннего промежутка, = 0 т. к. поля, созданные разноименно заряженными параллельными пластинами, направлены противоположно друг другу; между плоскостями .

Итак: . (8)

По этой же формуле определяется напряженность электрического поля вблизи заряженного проводника.

2 .2.3. Поле заряженного цилиндра: заряженный цилиндр радиуса R, (см. рис. 7), окружим коаксиальной цилиндрической поверхностью радиуса r; поток вектора через основания равен нулю, т. к. , где – внешняя нормаль к основаниям цилиндра; поток через боковую поверхность , здесь h – высота цилиндра. Согласно теореме Гаусса – Остроградского, при

, (9)

где  = q/ h — линейная (погонная) плотность заряда, которая измеряется в Кл/м. Когда r < R, то = 0.

2.2.4 Поле заряженной сферы: поток вектора через поверхность сферы радиуса r,

(см. рис. 8, вверху), которая окружает заряженную сферу, имеющую радиус R ,при r R . По теореме Гаусса – Остроградского

oткуда (10)

т

E

.е. вне заряженной сферы поле такое же, как и поле точечного за­ряда той же величины, помещенного в центре сферы. Внутри сферы нет зарядов, и поэтому поле там отсутствует, т.е.

при r < R имем = 0. Это свойство используют для экранировки от полей внешних зарядов; график Е = f(r) для случая заряженной сферы приведен на рис. 8, внизу.

Л екция 3. Потенциал электрического поля

3.1. Работа сил электрического поля:

3

0

.1.1. В однородном поле (см. рис. 1). Однородное поле создают, например, большие металлические пластины, имеющие заряды противоположного знака. Найдем работу по перемещению заряда на расстояние d:

,

Таким образом, работа, совершаемая силами поля, не зависит от формы пути, по которому перемещался заряд, а зависит только от расстояния d, измеряемого вдоль силовой линии меж­ду начальным и конечным положением заряда.

3 .1.2. В неоднородном поле точечного заряда q (см. рис. 2) Найдем работу по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 в поле, создаваемом точечным зарядом q:

. (2)

И в этом случае работа сил не зависит от формы пути. Она является только функцией начального и конечного положения заряда.

Для замкнутой траектории L она равна нулю, т. к. , т. е.

или , (3)

т.е. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ПО ЛЮБОМУ ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ РАВНА НУЛЮ.

В механике было приведено следующее определение: «Силы, работа которых не зависит от формы пути, называются консервативными силами, а поля, работа сил которых не зави­сит от формы пути, называются потенциальными полями». Таким образом, рассмотренное нами электростатическое поле является потенциальным, а кулоновские силы - консерватив­ными.

3.2. Потенциал электростатического поля

Известно, что работа сил потенциального поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии, т. е. . (4)

Отсюда следует, что потенциальная энергия пробного заряда в поле заряда q будет

При потенциальная энергия должна обращаться в нуль, поэтому значение постоян­ной С полагаем равным нулю. В итоге получаем, что (5)

Величину (6)

называют потенциалом электрического поля в данной точке. Потенциал , наряду с напря­женностью электрического поля , используется для описания электрического поля. Потенциал точечного заряда q, как следует из (5) и (6), , (7)

т. е. (прямо пропорционален величине заряда и обратно пропорционален расстоя­нию от него). Потенциал в СИ измеряется в вольтах: 1 В= 1Дж/1 Кл.

Если поле создает система точечных зарядов то потенциал

. (8)

Из формулы (6) вытекает, что заряд , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией . (9)

Следовательно, работу сил поля над зарядом можно выразить через разность потен­циалов , (10)

здесь - разность потенциалов между двумя точками поля, которая называется на­пряжением. Напряжение тоже измеряется в вольтах.

3.3. Эквипотенциальные поверхности

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, назы­вается эквипотенциальной поверхностью.

Ее уравнение имеет вид . (12)

Для точечного заряда q, согласно (7)

и эквипотенциальной поверхностью является сфера радиуса r. При перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности на отрезок dl по­тенциал не изменяется, т. е. = 0, следовательно, .

С другой стороны и равна

нулю, следовательно, =90°, т. о. вектор напряжен­ности электрического поля , (см. рис. 3), перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

На рис. 4-6 изображены линии вектора (силовые линии) и эквипотенциальные поверх­ности поля точечных зарядов и однородного поля.

3.4. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Напряженность электрического поля и потенциал используются для описания электри­ческого поля. -векторная величина, - скалярная величина. Они связаны между собой. Установим эту связь. Для этого, (см. рис. 7), проведем две эквипотенциальные поверхности и . Как было показано выше перпендикулярна эквипотенциальной поверхности. Работа по перемещению пробного заряда q’ из точки с потенциалом в точку с потенциалом согласно формуле(10)

равна . С другой стороны . Таким образом , отсюда , (13) - характеризует быстроту изменения потенциала. В более общем случае , (14) где .

Градиент потенциала есть вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверх­ности в сторону наибыстрейшего возрастания . Знак "минус" в (14) означает, что и направлены в противоположные стороны. Из формул (13), (14) следует, что напря­женность электрического поля Е измеряется в В/м.

Лекция 4. Электрическое поле в диэлектриках

Все вещества по электропроводности разделяются на проводники и диэлектрики. Промежуточное положение между ними занимают полупроводники.

Проводниками называют вещества, в которых имеются свободные носители зарядов, способные перемещаться под действием электрического поля. Примерами проводников являются металлы, растворы или расплавы солей, кислот, щелочей.

Диэлекриками или изоляторами называются вещества, в которых нет свободных носителей зарядов и которые, следовательно, не проводят электрический ток. Это будут идеаль­ные диэлектрики. В действительности диэлектрики проводят электрический ток, но очень слабо,их проводи­мость в 10¹⁵ -10²⁰ раз меньше, чем у проводников. Это обусловлено тем,что в обычных услови­ях заряды в диэлектриках связаны в устойчивые молекулы и не могут, как в проводниках, легко отрываться и становиться свободными. Молекулы диэлектрика электронейтральны: суммарный заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. В первом приближении молекулу можно рассматривать как диполь с электрическим моментом ; здесь q - заряд ядра молекулы, -век­тор, проведенный из "центра тяжести" электронов в "центр тяжести" положительных заря­дов атомных ядер (в 1.5 - называли плечом диполя).